AB: Lektion Ungleichungen (Teil 3)

Erster Teil der Lösung:
x - 5 < 3·x - 3
x - 5 < 3·x - 3 |+5
x < 3·x - 3 + 5
x < 3·x + 2 |-3·x
x-3·x < 2
-2·x < 2 |:(-2) Achtung: Verhältniszeichen muss sich drehen!
x > 2:(-2)
x > -1

Zweiter Teil der Lösung:
3·x - 3 < x
3·x - 3 < x |-3x
-3 < x - 3x
-3 < -2x |:(-2) Achtung: Verhältniszeichen muss sich drehen!
-3:(-2) > x
1,5 > x
x < 1,5

Lösungen zusammenfassen:
I. x > -1 bzw. -1 < x
II. x < 1,5
-1 < x < 1,5
Wenn x einen Wert zwischen -1 und 1,5 annimmt, dann gilt die Ungleichung.

Probe mit x = 0,5:
x - 5 < 3·x - 3 < x
0,5 - 5 < 3·0,5 - 3 < 0,5
-4,5 < 1,5 - 3 < 0,5
-4,5 < -1,5 < 0,5
wahre Aussage

Erster Teil der Lösung:
3·x+10 > 4x-2
3·x+10 > 4x-2 |-3x
10 > 4x-2-3x
10 > x-2 | +2
12 > x

Zweiter Teil der Lösung:
4x-2 > x
4x-2 > x |-x
4x-2-x > x-x
3x-2 > 0 |+2
3x > 2 |:3
x > 2:3
x > 2/3

Lösungen zusammenführen:
I. 12 > x
II. x > 2/3
12 > x > 2/3
Wenn x einen Wert zwischen 2/3 und 12 annimmt, so gilt die Ungleichung.

Probe mit x = 5:
3·x+10 > 4x-2 > x
3·5+10 > 4·5-2 > 5
25 > 18 > 5
wahre Aussage

Erster Teil der Lösung:
x < 2x - 2 |-2x
x-2x < -2
-x < -2 |:(-1) Achtung: Verhältniszeichen muss sich drehen!
x > 2

Zweiter Teil der Lösung:
2x - 2 < 2x + 15 |-2x
2 < 15
2 < 15 ist eine wahre Aussage, die immer gilt. Für unsere Ungleichung 2x - 2 < 2x + 15 heißt das, dass wir für x alle möglichen Werte einsetzen dürfen und sie stets richtig ist.

Lösungen zusammenführen:
I. x > 2
II. x kann alle Werte annehmen
Da bei Ungleichung I das x immer größer als 2 sein soll und bei II das x alle Werte annehmen darf, wird x nur eingeschränkt durch Ungleichung I. Also gilt als Gesamtlösung: x > 2

Probe mit x = 3:
x < 2x - 2 < 2x + 15
3 < 2·3 - 2 < 2·3 + 15
3 < 4 < 21

Gegenprobe mit x = 1 (also eine Zahl x<2):
x < 2x - 2 < 2x + 15
1 < 2·1 - 2 < 2·1 + 15
1 < 0 < 17
falsche Aussage, klappt also nicht!

Erster Teil der Lösung:
2x < -7 |:2
x < -7:2
x < -3,5

Zweiter Teil der Lösung:
-7 < x (kann unverändert stehen bleiben)

Lösungen zusammenführen:
I. x < -3,5
II. -7 < x
-7 < x < -3,5
Wenn x einen Wert zwischen -3,5 und -7 annimmt, so gilt die Ungleichung!

Probe mit x = -4:
2x < -7 < x
2·(-4) < -7 < (-4)
-8 < -7 < -4
wahre Aussage