AB: Lektion Wurzelgleichungen (Teil 3)

$$ \sqrt{x + 5} = x + 3 \qquad |()^2 \\ x + 5 = x^2 + 6·x + 9 \qquad |-(x + 5) \\ x^2 + 5·x + 4 = 0 $$

Wir wenden die p-q-Formel an:

$$ x_{1,2} = -( \frac{5}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{5}{2} )^{2} - 4} \\ x_1 = -1 \\ x_2 = -4 $$

Probe:

Für x₁ = -1:

$$ \sqrt{x + 5} = x + 3 \quad | x = -1 \\ \sqrt{-1 + 5} = -1 + 3 \\ \sqrt{4} = 2 \\ 2 = 2 $$

x₁ = -1 ist also eine Lösung der Gleichung.

Für x₂ = -4:

$$ \sqrt{x + 5} = x + 3 \quad | x = -4 \\ \sqrt{-4 + 5} = -4 + 3 \\ \sqrt{1} = -1 \\ 1 ≠ -1 $$

x₂ = -4 ist also keine Lösung der Gleichung.

Als endgültige Lösung erhalten wir L = { -1 }.

$$ \sqrt{x - 10} = x - 5 \qquad | ()^2 \\ x - 10 = x^2 - 10·x + 25 \qquad |-(x - 10) \\ x^2 - 11·x + 35 = 0 $$

Wir wenden nun die p-q-Formel an mit p = -11 und q = 35:

$$ x_{1,2} = -( \frac{-11}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{-11}{2} )^{2} - 35} \\ x_{1,2} = \frac{11}{2} ± \sqrt{30,25 - 35} \\ x_{1,2} = \frac{11}{2} ± \sqrt{-4,75} $$

Da der Wert unter der Wurzel negativ ist, gibt es keine Lösungen. Es ist somit L = { }.

$$ \sqrt{x + \sqrt{x-4}} = 4 \qquad |()^2 \\ x + \sqrt{x - 4} = 16 \qquad | -x \\ x - 4 = 16 - x \qquad | ()^2 \\ x - 4 = x^2 - 32·x + 256 \qquad | -(x - 4) \\ x^2 - 33·x + 260 = 0 $$

Wir wenden die p-q-Formel an und erhalten:

x₁ = 13
x₂ = 20

Jetzt machen wir die Probe:

Für x₁ = 13:

$$ \sqrt{x + \sqrt{x-4}} = 4 \qquad | x = 13 \\ \sqrt{13 + \sqrt{13-4}} = 4 \\ \sqrt{13 + \sqrt{9}} = 4 \\ \sqrt{13 + 3} = 4 \\ \sqrt{16} = 4 \\ 4 = 4 $$

Somit ist x₁ = 13 eine Lösung.

Für x₂ = 20:

$$ \sqrt{x + \sqrt{x-4}} = 4 \qquad | x = 20 \\ \sqrt{20 + \sqrt{20-4}} = 4 \\ \sqrt{20 + \sqrt{16}} = 4 \\ \sqrt{20 + 4} = 4 \\ \sqrt{24} ≠ 4 $$

Damit ist x₂ = 20 keine Lösung.

Unsere Lösung für die Gleichung lautet L = { 13 }

Wir schreiben jede Wurzeln in Potenzschreibweise um:

Zuerst: \( \sqrt{x^{\frac{3}{2}}} = (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}·\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{4}} \)

Dann: \( \sqrt{\sqrt{x}} = \sqrt{x^{\frac{1}{2}}} = (x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{4}} \)

Ersetzen wir die Wurzeln mit den Potenzen:

$$ x^{\frac{3}{4}} : x^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{3}{4} - x^{\frac{1}{4}}} = x^{\frac{2}{4}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} $$

Unsere Gleichung ist damit vereinfacht zu \( \sqrt{x} = 7 \) und wir können sie lösen:

$$ \sqrt{x} = 7 \quad |()^2 \\ x = 49 $$

Probe:

$$ \sqrt{x} = 7 \quad | x = 49 \\ \sqrt{49} = 7 $$

Unsere Lösung ist also bestätigt mit L = {49}