AB: Lektion Wurzelgleichungen (Teil 4)

Wir bestimmen uns zwei Grenzen:

3² = 9   und   4² = 16

Unsere untere Grenze liegt im Quadrat näher an der 10. Wir erhöhen also den Wert 3 und prüfen anschließend die Quadrate der neuen Werte:

3,1² = 9,61   3,2² = 10,24

Wir erhalten als neue Grenzen 3,1 und 3,2. Erhöhen wir unsere untere Grenze weiter (nächste Nachkommastelle):

3,11² = 9,6721   3,12² = 9,7344   …   3,16² = 9,9856   3,17² = 10,0489

Wir erhalten 3,16 und 3,17 als neue Grenzen. Wir wollen aber nur auf eine Nachkommastelle ungefähr genau rechnen. Deshalb können wir sagen: \( \sqrt{10} ≈ 3,16 \).

Wir bestimmen uns zwei Grenzen:

3² = 9   und   4² = 16

Wir bilden den Mittelwert und prüfen dessen Quadrat:

\( \frac{3+4}{2} = 3,5 \rightarrow 3,5^2 = 12,25 \)

Somit ist 3,5 unsere neue obere Grenze.

Wir bestimmen den Mittelwert von 3 und 3,5 und prüfen dessen Quadrat:

\( \frac{3+3,5}{2} = 3,25 \rightarrow 3,25^2 = 10,5625 \)

Somit ist 3,25 unsere neue obere Grenze. Wir bilden den Mittelwert und prüfen das Quadrat:

Wir bilden den Mittelwert und prüfen dessen Quadrat:

\( \frac{3+3,25}{2} = 3,125 \rightarrow 3,125^2 = 9,765625 \)

Da das Quadrat kleiner als 10 ist, ist 3,125 unsere neue untere Grenze. Wir erhalten als Mittelwert:

\( \frac{3,125+3,25}{2} = 3,1875 \rightarrow 3,1875^2 = 10,16015625 \)

Also ist 3,1875 unsere obere Grenze.

Nochmal wird der Mittelwert gebildet:

\( \frac{3,125+3,1875}{2} = 3,15625 \rightarrow 3,15625^2 = 9,9619140625 \)

Wir runden 3,15625 auf zu 3,16 und können nun sagen, dass \( \sqrt{10} ≈ 3,16 \) ist.

Wir wissen, dass 5·2 = 10. Also nehmen wir als Startwert die 5 und setzen in die allgemeine Formel ein:

$$ x_{n+1} = \frac{x_n + \frac{A}{x_n}}{2} \\ x_{1} = \frac{5 + \frac{10}{5}}{2} = 3,5 \\ x_{2} = \frac{3,5 + \frac{10}{3,5}}{2} ≈ 3,179 \\ x_{3} = \frac{3,179 + \frac{10}{3,179}}{2} ≈ 3,16 $$

Prüfen wir das Quadrat von 3,16:
3,16² = 9,9856
Wir können also sagen, dass \( \sqrt{10} ≈ 3,16 \) ist.