AB: Lektion Wurzeln (Teil 7)
Im Folgenden sind Aufgaben zu lösen, die dir so oder ähnlich in einer Abschlussprüfung begegnen könnten.
Bestimme die Seitenlänge eines Quadrats. Das Quadrat hat eine Gesamtfläche von 100 cm². Wie lang ist jede Seite?
Gesamtfläche Quadrat A = 100 cm², gesucht Seite a
A = a² | allgemeine Formel für Quadratsfläche
100 cm² = a² | gegebene Fläche eingesetzt
100 cm² = a² | √ Wurzel ziehen
\( \pm \sqrt{100 ~ cm^2} = \sqrt{a^2}\)
±10 cm = a
a1,2 = ±10 cm
Eine Seitenlänge kann nicht negativ sein, also gilt nur das positive Ergebnis:
a = 10 cm
Antwort: Die Seitenlänge des Quadrats beträgt 10 cm.
Berechne: \( 4 \sqrt{5} · 5 \sqrt{5} = … \)
= 4√5 · 5√5
= 4·√5 · 5·√5
= 4·5·√5·√5
= 20·√5·√5
= 20·(√5)²
= 20·5
= 100
Fülle die Lücke: ___ \( · \sqrt{3} = 6 \)
Als erstes für die Lücke ein x einsetzen.
x · √3 = 6
Dann die 6 mit Quadratwurzel schreiben, das heißt 6 = √36:
x · √3 = 6
x · √3 = √36
Jetzt die Gleichung nach x umstellen:
x · √3 = √36 | : √3
x = √36 : √3
Wurzelgesetz anwenden:
\( x = \sqrt{36:3} \)
x = √12
Wir wissen nun also: √12 · √3 = √36 = 6
Fülle die Lücke: ___ \( · \sqrt{2} = 10 \)
Als erstes für die Lücke ein x einsetzen.
x · √2 = 10
Dann die 10 mit Quadratwurzel schreiben, das heißt 10 = √100:
x · √2 = 10
x · √2 = √100
Jetzt die Gleichung nach x umstellen:
x · √2 = √100 | : √2
x = √100 : √2
Wurzelgesetz anwenden:
\( x = \sqrt{100:2} \)
x = √50
Wir wissen nun also: √50 · √2 = √100 = 10
Mache den Nenner rational beim Bruch: \( \frac{3}{ \sqrt{5}} \).
Hinweis: „Rational machen“ heißt hier, die irrationale Zahl \( \sqrt{5} \) durch Erweitern des Bruches zu einer rationalen Zahl (z. B. \( 5 \)) zu machen.
Wir wollen die irrationale Zahl √5 durch Erweitern des Bruches in eine rationale Zahl umwandeln.
\( \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{ 3·\sqrt{5} }{ \sqrt{5}·\sqrt{5} } = \frac{ 3·\sqrt{5} }{ (\sqrt{5})^2 } = \frac{ 3·\sqrt{5} }{5} \)
Wie wir sehen, ist der Nenner nun 5. Diese Zahl gehört zur Menge der rationalen Zahlen.