Wissen: Wurzeln und Wurzelgesetze

Was ist die Wurzel?

Die Wurzel √ macht das Potenzieren rückgängig. Ziehen wir die Wurzel aus dem Potenzwert, so erhalten wir die ursprüngliche Basis. Was das meint, zeigt uns folgendes Beispiel:

$$ 3^2 = 9 \xrightarrow{rückgängig} \sqrt [ 2 ]{ 9 } = 3 \\ \sqrt [ 2 ]{ 9 } = 3 \xrightarrow{denn} 3^2 = 9 \\ \sqrt [ \color{red}{3} ]{ \color{green}{64} } = \color{blue}{4} \xrightarrow{denn} \color{blue}{4}^\color{red}{3} = \color{green}{64} $$

Allgemeiner Zusammenhang zwischen Wurzel und Potenz:

$$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{b} } = \color{blue}{c} \rightarrow \color{blue}{c}^\color{red}{a} = \color{green}{b} $$

wobei der Radikand b in jedem Fall positiv sein muss.

Bezeichnungen an der Wurzel

Es gibt drei wichtige Begriffe an der Wurzel, die ihr kennen müsst: Basis, Wurzelexponent und Wurzelwert. Siehe Abbildung:

Quadratwurzel und Kubikwurzel

Ist kein Wurzelexponent angegeben, so spricht man von der Quadratwurzel (also 2. Wurzel): Quadratwurzel Schreibweise ohne Zwei

$$ \sqrt { x } = \sqrt [ 2 ]{ x } $$

Spricht man von der Kubikwurzel, so meint man stets die 3. Wurzel:

$$ \sqrt [ 3 ]{ x } $$

Es ist übrigens hilfreich, Quadratzahlen und Kubikzahlen auswendig zu kennen. Denn dann erkennt man beispielsweise 625 schnell als Quadratzahl (25²) und weiß gleichzeitig, dass die Quadratwurzel ²√625 = 25 ist. Oder dass die Kubikwurzel ³√64 = 4 ist.

x	Quadratzahlen x²	Kubikzahlen x³	x4
1	1	1	1
2	4	8	16
3	9	27	81
4	16	64	256
5	25	125	625
6	36	216	1296
7	49	343	2401
8	64	512	4096
9	81	729	6561
10	100	1000	10000
11	121	1331	14641
12	144	1728	20736
13	169	2197	28561
14	196	2744	38416
15	225	3375	50625
16	256	4096	65536
17	289	4913	83521
18	324	5832	104976
19	361	6859	130321
20	400	8000	160000
21	441	9261	194481
22	484	10648	234256
23	529	12167	279841
24	576	13824	331776
25	625	15625	390625

Wurzelgesetze

Allgemeine Regeln für Wurzeln

Potenz und Wurzel heben sich gegenseitig auf (das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens).

$$ \sqrt [ 2 ]{ x^2 } = x \quad \sqrt [ a ]{ x^a } = x $$

Der Exponent der Potenz kann aus der Wurzel herausgezogen werden:

$$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ x^\color{blue}{b} } = (\sqrt [ \color{red}{a} ]{ x })^\color{blue}{b} $$

Bei Umwandlung einer Wurzel in eine Potenz geht der Wurzelexponent in den Exponenten der Potenz wie folgt über:

$$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ x^\color{blue}{b} } = x^{\frac { \color{blue}{b} }{ \color{red}{a} }} $$

Dies ist immer problemlos möglich, wenn x positiv ist und a eine natürliche Zahl. Ansonsten kann es unter Umständen zu Widersprüchen kommen.

Wenn wir den 'Standardfall' haben, also einfach eine Wurzel aus einer Zahl ziehen, dann können wir so umwandeln:

$$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ x } = \sqrt [ \color{red}{a} ]{ x^1 } = x^{\frac { 1 }{ \color{red}{a} }} $$

Die Wurzel aus Eins ist stets Eins, da 1 hoch jede beliebige Zahl stets 1 ergibt:

$$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{1} } = 1 \xrightarrow{denn} 1^\color{red}{a} = \color{green}{1} $$

Multiplikation und Division von Wurzeln

Die Wurzel lässt sich bei der Multiplikation auf zwei Faktoren und bei der Division auf Divisor und Dividend übertragen:

$$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{x} } \cdot \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{blue}{y} } = \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{x} \cdot \color{blue}{y} } \\ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{x} } : \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{blue}{y} } = \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{x} : \color{blue}{y} } $$

Als Bruch geschrieben:

$$ \frac { \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{x} } }{ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{blue}{y} } } = \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \frac { \color{green}{x} }{ \color{blue}{y} } } $$

Die Schreibweise Zahl mit Wurzel meint eine Multiplikation zwischen den beiden:

$$ 3 \sqrt { 16 } = 3 \cdot \sqrt { 16 } $$

Multiplikation bei gleichem Radikand

Wenn wir den gleichen Radikand, aber unterschiedliche Wurzelexponenten haben, lässt sich nicht so einfach zusammenfassen. Dies erkennen wir, wenn wir die Wurzel in eine Potenz umschreiben:

$$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{x} } \cdot \sqrt [ \color{blue}{b} ]{ \color{green}{x} } = \\ x^{ \frac{1}{\color{red}{a}}} \cdot x^{ \frac{1}{\color{blue}{b}}} = \\ x^{ \frac{1}{\color{red}{a}} + \frac{1}{\color{blue}{b}}} = \\ x^{ \frac{1·b}{\color{red}{a}·b} + \frac{1·a}{\color{blue}{b}·a}} = \\ x^{ \frac{\color{red}{a}+\color{blue}{b}}{\color{red}{a}·\color{blue}{b}}} \\ \sqrt [ \color{red}{a}·\color{blue}{b} ] {x^{ \color{red}{a}+\color{blue}{b}} } $$

Verschachtelte Wurzel

Bei einer verschachtelten Wurzel (Wurzel aus Wurzel) kann man die Wurzelexponenten miteinander multiplizieren (Nachweis über die Potenz, siehe Wurzelvideo Teil 2).

$$ \sqrt [ a ]{ \sqrt [ b ]{ x } } = \sqrt [ a \cdot b ]{ x } $$

Teilweises Wurzelziehen

Beim teilweisen Wurzelziehen (auch 'Vereinfachen von Wurzeln' genannt) zieht man einen Teil aus der Wurzel heraus. So zum Beispiel:

$$ \sqrt { 250 } = \sqrt { 25 \cdot 10 } = \sqrt { 25 } \cdot \sqrt { 10 } = 5 \cdot \sqrt { 10 } $$

Wurzel aus Null

Die Wurzel aus Null ist wieder Null, da Null ins Quadrat Null ergibt:

$$ \sqrt{ \color{green}{0} } = 0 \xrightarrow{denn} 0^2 = \color{green}{0} $$

Nullte Wurzel

Die nullte Wurzel aus einem Wert ist nicht definiert:

$$ \sqrt[0]{ \color{green}{x} } = \text{n.d.} $$

Nachweis:

$$ \sqrt[0]{ x } = \sqrt [ 0 ]{ x^1 } = x^{\frac { 1 }{ \color{red}{0} }} = \text{n.d.} $$

Eine Division durch Null ist nicht möglich bzw. nicht definiert, vergleiche hierzu Teilbarkeit.

Negativer Wurzelexponent

Man kann bei negativem Wurzelexponenten wie folgt umformen:

$$ \sqrt[ \color{red}{-a} ]{ x^\color{blue}{b} } = \frac { 1 }{ \sqrt[ \color{red}{a} ]{ x^\color{blue}{b} } } $$

Wenn b=1 ist, wir also keine Potenz unter der Wurzel haben, gilt demnach:

$$ \sqrt[ \color{red}{-a} ]{ x } = \frac { 1 }{ \sqrt[ \color{red}{a} ]{ x } } $$

Negativer Radikand

Sofern der Wert unter der Wurzel negativ ist (hier mit -x dargestellt), erhalten wir kein Ergebnis, denn es gibt keinen negativen Wert, der quadriert negativ wird.

$$ \sqrt [ 2 ]{ -x } = n.d. \text{ | sofern x>0} $$

Die gerade Wurzel aus einer negativer Zahl ist nicht definiert.

Bei einem ungeraden Wurzelexponenten erhalten wir hingegen (trotz eines negativen Wertes unter der Wurzel) ein Ergebnis:

$$ \sqrt [ 3 ]{ -x } = -y $$

Die ungerade Wurzel aus einer negativen Zahl ist definiert.

Zum Beispiel:

$$ \sqrt [ 3 ]{ -125 } = -5 $$

Begründung:

$$ (-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125 $$

Gleichungen umformen mit Wurzeln (Äquivalenzumformungen)

Manchmal müssen wir „plus-minus die Wurzel ziehen“, um ein positives und ein negatives Ergebnis zu erhalten. Beispiel:

Wir erhalten zwei Ergebnisse, denn es gilt: (+2)² = 4 sowie (-2)² = 4

Man spricht hier von der Mehrdeutigkeit der Wurzel (Fachbegriff Ambiguität). Merkt euch: Eine reelle Zahl (egal ob positiv oder negativ) ergibt quadriert immer den gleichen positiven Wert. Wenn wir jedoch eine Wurzel aus einer Zahl ziehen, dann gibt es zwei mögliche Lösungen (eine positive und eine negative).

Die Schreibweise beim Beispiel oben mit ±√ ist mathematisch nicht ganz korrekt, korrekt wäre die Notation mit Betrag:

$$ \begin{align*}&&x^2 &= 4 & |\,\sqrt{\phantom{0}} \\ &&\sqrt{x^2} &= \sqrt{4} \\ &\implies&|x| &= 4 \end{align*} $$

Mit Hilfe des Betrages von x erhalten wir das positive und negative Ergebnis:

$$ \begin{array} { l } \implies x = \pm 4 \\ { \implies x _ { 1 } = + 2 } \\ { \implies x _ { 2 } = - 2 } \end{array} $$

Wurzel durch Potenzieren entfernen

Falls ihr einmal eine Wurzel „entfernen“ sollt, müsst ihr beide Seiten potenzieren, also am Beispiel:

$$ \begin{aligned} \sqrt [ 3 ] { x } & = 2 \qquad | ()^3 \\ ( \sqrt [ 3 ] { x } ) ^ { \color{#00F}{3} } & = 2 ^ { \color{#00F}{3} } \\ x & = 2 ^ { 3 } \\ x & = 8 \end{aligned} $$

Herkunft von „Wurzel“ und Wurzelzeichen

Habt ihr euch bereits die Frage gestellt, woher der Begriff Wurzel und das Wurzelzeichen stammen? Um das zu klären, muss man wissen, dass die Wurzel im Lateinischen Radix hieß. Und richtig, diesen Begriff findet ihr heute auch noch im Wort Radieschen wieder.

Ihr könnt euch also einfach gesagt vorstellen, dass eine Zahl "gewachsen" ist und man möchte zu ihrem Ursprung (ihrer Wurzel) zurück.

Schaut man sich das Englische einmal an, so findet man übrigens das Wort "eradicate", das von radix abstammt und übersetzt wird mit "beseitigen, ausmerzen". Man beseitigt also eine Zahl und findet ihren Ursprung.

→ Das Wurzel-Zeichen ist übrigens aus dem Anfangsbuchstaben von "radix", also dem kleinen "r" hervorgegangen. Sozusagen eine Kurzschreibweise fürs Radizieren (= Wurzelziehen).

Widerspruch beim Wurzel-Potenz-Umwandeln

Bei der Wurzel-Potenz-Überführung bei negativem Radikand kann es eventuell zu Konflikten kommen, wenn man beispielsweise wie folgt umformt:

$$\begin{array} { l } { \sqrt [ 3 ] { - 8 } \color{#00F}{= -2} = \sqrt [ 3 ] { ( - 8 ) ^ { 1 } } = ( - 8 ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } = \\ { ( - 8 ) ^ { \frac { 1 · 2 } { 3 · 2 } } = ( - 8 ) ^ { \frac { 2 } { 6 } } = \sqrt [ 6 ] { ( - 8 ) ^ { 2 } } } = \\ { \sqrt [ 6 ] { 64 } \color{#00F}{= 2} } \end{array}$$

Jedoch: \( \color{#F00}{-2 \neq 2} \)

Das Problem entsteht, wenn man den Exponenten (der Bruch Ein-Drittel) erweitert und damit einen anderen Exponenten schafft (3. Wurzel wird zu 6. Wurzel, hoch 1 wird zu hoch 2), wodurch letztlich ein positiver Radikand entsteht. Man sollte einen gebrochenen Exponenten also stets nur verändern, wenn der Radikand positiv ist.

Es gilt jedoch stets, sofern der Radikand x positiv ist und der Wurzelexponent a eine natürliche Zahl: Wurzeln lassen sich in Potenzen überführen. Potenzen lassen sich in Wurzeln überführen.

$$ \sqrt[ \color{#F00}{a} ]{ x^{ \color{#00F}{b} } } = x^{ \frac{ \color{#F00}{a} }{ \color{#00F}{b} } } $$

Wurzelrechner