Wissen: Wurzeln und Wurzelgesetze
Inhaltsverzeichnis
[Verbergen]- Was ist die Wurzel?
- Bezeichnungen an der Wurzel
- Quadratwurzel und Kubikwurzel
- Wurzelgesetze
- Verschachtelte Wurzel
- Teilweises Wurzelziehen
- Wurzel aus Null
- Nullte Wurzel
- Negativer Wurzelexponent
- Negativer Radikand
- Gleichungen umformen mit Wurzeln (Äquivalenzumformungen)
- Herkunft von „Wurzel“ und Wurzelzeichen
- Widerspruch beim Wurzel-Potenz-Umwandeln
- Wurzelrechner
Was ist die Wurzel?
Die Wurzel √ macht das Potenzieren rückgängig. Ziehen wir die Wurzel aus dem Potenzwert, so erhalten wir die ursprüngliche Basis. Was das meint, zeigt uns folgendes Beispiel:
$$ 3^2 = 9 \xrightarrow{rückgängig} \sqrt [ 2 ]{ 9 } = 3 \\ \sqrt [ 2 ]{ 9 } = 3 \xrightarrow{denn} 3^2 = 9 \\ \sqrt [ \color{red}{3} ]{ \color{green}{64} } = \color{blue}{4} \xrightarrow{denn} \color{blue}{4}^\color{red}{3} = \color{green}{64} $$
Allgemeiner Zusammenhang zwischen Wurzel und Potenz:
$$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{b} } = \color{blue}{c} \rightarrow \color{blue}{c}^\color{red}{a} = \color{green}{b} $$
wobei der Radikand b in jedem Fall positiv sein muss.
Bezeichnungen an der Wurzel
Es gibt drei wichtige Begriffe an der Wurzel, die ihr kennen müsst: Basis, Wurzelexponent und Wurzelwert. Siehe Abbildung:
Quadratwurzel und Kubikwurzel
Ist kein Wurzelexponent angegeben, so spricht man von der Quadratwurzel (also 2. Wurzel): Quadratwurzel Schreibweise ohne Zwei
$$ \sqrt { x } = \sqrt [ 2 ]{ x } $$
Spricht man von der Kubikwurzel, so meint man stets die 3. Wurzel:
$$ \sqrt [ 3 ]{ x } $$
Es ist übrigens hilfreich, Quadratzahlen und Kubikzahlen auswendig zu kennen. Denn dann erkennt man beispielsweise 625 schnell als Quadratzahl (25²) und weiß gleichzeitig, dass die Quadratwurzel 2√625 = 25 ist. Oder dass die Kubikwurzel 3√64 = 4 ist.
x | Quadratzahlen x² | Kubikzahlen x³ | x4 |
---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 4 | 8 | 16 |
3 | 9 | 27 | 81 |
4 | 16 | 64 | 256 |
5 | 25 | 125 | 625 |
6 | 36 | 216 | 1296 |
7 | 49 | 343 | 2401 |
8 | 64 | 512 | 4096 |
9 | 81 | 729 | 6561 |
10 | 100 | 1000 | 10000 |
11 | 121 | 1331 | 14641 |
12 | 144 | 1728 | 20736 |
13 | 169 | 2197 | 28561 |
14 | 196 | 2744 | 38416 |
15 | 225 | 3375 | 50625 |
16 | 256 | 4096 | 65536 |
17 | 289 | 4913 | 83521 |
18 | 324 | 5832 | 104976 |
19 | 361 | 6859 | 130321 |
20 | 400 | 8000 | 160000 |
21 | 441 | 9261 | 194481 |
22 | 484 | 10648 | 234256 |
23 | 529 | 12167 | 279841 |
24 | 576 | 13824 | 331776 |
25 | 625 | 15625 | 390625 |
Wurzelgesetze
Allgemeine Regeln für Wurzeln
Potenz und Wurzel heben sich gegenseitig auf (das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens).
$$ \sqrt [ 2 ]{ x^2 } = x \quad \sqrt [ a ]{ x^a } = x $$
Der Exponent der Potenz kann aus der Wurzel herausgezogen werden:
$$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ x^\color{blue}{b} } = (\sqrt [ \color{red}{a} ]{ x })^\color{blue}{b} $$
Bei Umwandlung einer Wurzel in eine Potenz geht der Wurzelexponent in den Exponenten der Potenz wie folgt über:
$$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ x^\color{blue}{b} } = x^{\frac { \color{blue}{b} }{ \color{red}{a} }} $$
Dies ist immer problemlos möglich, wenn x positiv ist und a eine natürliche Zahl. Ansonsten kann es unter Umständen zu Widersprüchen kommen.
Wenn wir den 'Standardfall' haben, also einfach eine Wurzel aus einer Zahl ziehen, dann können wir so umwandeln:
$$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ x } = \sqrt [ \color{red}{a} ]{ x^1 } = x^{\frac { 1 }{ \color{red}{a} }} $$
Die Wurzel aus Eins ist stets Eins, da 1 hoch jede beliebige Zahl stets 1 ergibt:
$$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{1} } = 1 \xrightarrow{denn} 1^\color{red}{a} = \color{green}{1} $$
Multiplikation und Division von Wurzeln
Die Wurzel lässt sich bei der Multiplikation auf zwei Faktoren und bei der Division auf Divisor und Dividend übertragen:
$$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{x} } \cdot \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{blue}{y} } = \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{x} \cdot \color{blue}{y} } \\ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{x} } : \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{blue}{y} } = \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{x} : \color{blue}{y} } $$
Als Bruch geschrieben:
$$ \frac { \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{x} } }{ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{blue}{y} } } = \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \frac { \color{green}{x} }{ \color{blue}{y} } } $$
Die Schreibweise Zahl mit Wurzel meint eine Multiplikation zwischen den beiden:
$$ 3 \sqrt { 16 } = 3 \cdot \sqrt { 16 } $$
Multiplikation bei gleichem Radikand
Wenn wir den gleichen Radikand, aber unterschiedliche Wurzelexponenten haben, lässt sich nicht so einfach zusammenfassen. Dies erkennen wir, wenn wir die Wurzel in eine Potenz umschreiben:
$$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{x} } \cdot \sqrt [ \color{blue}{b} ]{ \color{green}{x} } = \\ x^{ \frac{1}{\color{red}{a}}} \cdot x^{ \frac{1}{\color{blue}{b}}} = \\ x^{ \frac{1}{\color{red}{a}} + \frac{1}{\color{blue}{b}}} = \\ x^{ \frac{1·b}{\color{red}{a}·b} + \frac{1·a}{\color{blue}{b}·a}} = \\ x^{ \frac{\color{red}{a}+\color{blue}{b}}{\color{red}{a}·\color{blue}{b}}} \\ \sqrt [ \color{red}{a}·\color{blue}{b} ] {x^{ \color{red}{a}+\color{blue}{b}} } $$
Verschachtelte Wurzel
Bei einer verschachtelten Wurzel (Wurzel aus Wurzel) kann man die Wurzelexponenten miteinander multiplizieren (Nachweis über die Potenz, siehe Wurzelvideo Teil 2).
$$ \sqrt [ a ]{ \sqrt [ b ]{ x } } = \sqrt [ a \cdot b ]{ x } $$
Teilweises Wurzelziehen
Beim teilweisen Wurzelziehen (auch 'Vereinfachen von Wurzeln' genannt) zieht man einen Teil aus der Wurzel heraus. So zum Beispiel:
$$ \sqrt { 250 } = \sqrt { 25 \cdot 10 } = \sqrt { 25 } \cdot \sqrt { 10 } = 5 \cdot \sqrt { 10 } $$
Wurzel aus Null
Die Wurzel aus Null ist wieder Null, da Null ins Quadrat Null ergibt:
$$ \sqrt{ \color{green}{0} } = 0 \xrightarrow{denn} 0^2 = \color{green}{0} $$
Nullte Wurzel
Die nullte Wurzel aus einem Wert ist nicht definiert:
$$ \sqrt[0]{ \color{green}{x} } = \text{n.d.} $$
Nachweis:
$$ \sqrt[0]{ x } = \sqrt [ 0 ]{ x^1 } = x^{\frac { 1 }{ \color{red}{0} }} = \text{n.d.} $$
Eine Division durch Null ist nicht möglich bzw. nicht definiert, vergleiche hierzu Teilbarkeit.
Negativer Wurzelexponent
Man kann bei negativem Wurzelexponenten wie folgt umformen:
$$ \sqrt[ \color{red}{-a} ]{ x^\color{blue}{b} } = \frac { 1 }{ \sqrt[ \color{red}{a} ]{ x^\color{blue}{b} } } $$
Wenn b=1 ist, wir also keine Potenz unter der Wurzel haben, gilt demnach:
$$ \sqrt[ \color{red}{-a} ]{ x } = \frac { 1 }{ \sqrt[ \color{red}{a} ]{ x } } $$
Negativer Radikand
Sofern der Wert unter der Wurzel negativ ist (hier mit -x dargestellt), erhalten wir kein Ergebnis, denn es gibt keinen negativen Wert, der quadriert negativ wird.
$$ \sqrt [ 2 ]{ -x } = n.d. \text{ | sofern x>0} $$
Die gerade Wurzel aus einer negativer Zahl ist nicht definiert.
Bei einem ungeraden Wurzelexponenten erhalten wir hingegen (trotz eines negativen Wertes unter der Wurzel) ein Ergebnis:
$$ \sqrt [ 3 ]{ -x } = -y $$
Die ungerade Wurzel aus einer negativen Zahl ist definiert.
Zum Beispiel:
$$ \sqrt [ 3 ]{ -125 } = -5 $$
Begründung:
$$ (-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125 $$
Gleichungen umformen mit Wurzeln (Äquivalenzumformungen)
Manchmal müssen wir „plus-minus die Wurzel ziehen“, um ein positives und ein negatives Ergebnis zu erhalten. Beispiel:
Wir erhalten zwei Ergebnisse, denn es gilt: (+2)² = 4 sowie (-2)² = 4
Man spricht hier von der Mehrdeutigkeit der Wurzel (Fachbegriff Ambiguität). Merkt euch: Eine reelle Zahl (egal ob positiv oder negativ) ergibt quadriert immer den gleichen positiven Wert. Wenn wir jedoch eine Wurzel aus einer Zahl ziehen, dann gibt es zwei mögliche Lösungen (eine positive und eine negative).
Die Schreibweise beim Beispiel oben mit ±√ ist mathematisch nicht ganz korrekt, korrekt wäre die Notation mit Betrag:
$$ \begin{align*}&&x^2 &= 4 & |\,\sqrt{\phantom{0}} \\ &&\sqrt{x^2} &= \sqrt{4} \\ &\implies&|x| &= 4 \end{align*} $$
Mit Hilfe des Betrages von x erhalten wir das positive und negative Ergebnis:
$$ \begin{array} { l } \implies x = \pm 4 \\ { \implies x _ { 1 } = + 2 } \\ { \implies x _ { 2 } = - 2 } \end{array} $$
Wurzel durch Potenzieren entfernen
Falls ihr einmal eine Wurzel „entfernen“ sollt, müsst ihr beide Seiten potenzieren, also am Beispiel:
$$ \begin{aligned} \sqrt [ 3 ] { x } & = 2 \qquad | ()^3 \\ ( \sqrt [ 3 ] { x } ) ^ { \color{#00F}{3} } & = 2 ^ { \color{#00F}{3} } \\ x & = 2 ^ { 3 } \\ x & = 8 \end{aligned} $$
Herkunft von „Wurzel“ und Wurzelzeichen
Habt ihr euch bereits die Frage gestellt, woher der Begriff Wurzel und das Wurzelzeichen stammen? Um das zu klären, muss man wissen, dass die Wurzel im Lateinischen Radix hieß. Und richtig, diesen Begriff findet ihr heute auch noch im Wort Radieschen wieder.
Ihr könnt euch also einfach gesagt vorstellen, dass eine Zahl "gewachsen" ist und man möchte zu ihrem Ursprung (ihrer Wurzel) zurück.
Schaut man sich das Englische einmal an, so findet man übrigens das Wort "eradicate", das von radix abstammt und übersetzt wird mit "beseitigen, ausmerzen". Man beseitigt also eine Zahl und findet ihren Ursprung.
→ Das Wurzel-Zeichen ist übrigens aus dem Anfangsbuchstaben von "radix", also dem kleinen "r" hervorgegangen. Sozusagen eine Kurzschreibweise fürs Radizieren (= Wurzelziehen).
Widerspruch beim Wurzel-Potenz-Umwandeln
Bei der Wurzel-Potenz-Überführung bei negativem Radikand kann es eventuell zu Konflikten kommen, wenn man beispielsweise wie folgt umformt:
$$\begin{array} { l } { \sqrt [ 3 ] { - 8 } \color{#00F}{= -2} = \sqrt [ 3 ] { ( - 8 ) ^ { 1 } } = ( - 8 ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } = \\ { ( - 8 ) ^ { \frac { 1 · 2 } { 3 · 2 } } = ( - 8 ) ^ { \frac { 2 } { 6 } } = \sqrt [ 6 ] { ( - 8 ) ^ { 2 } } } = \\ { \sqrt [ 6 ] { 64 } \color{#00F}{= 2} } \end{array}$$
Jedoch: \( \color{#F00}{-2 \neq 2} \)
Das Problem entsteht, wenn man den Exponenten (der Bruch Ein-Drittel) erweitert und damit einen anderen Exponenten schafft (3. Wurzel wird zu 6. Wurzel, hoch 1 wird zu hoch 2), wodurch letztlich ein positiver Radikand entsteht. Man sollte einen gebrochenen Exponenten also stets nur verändern, wenn der Radikand positiv ist.
Es gilt jedoch stets, sofern der Radikand x positiv ist und der Wurzelexponent a eine natürliche Zahl: Wurzeln lassen sich in Potenzen überführen. Potenzen lassen sich in Wurzeln überführen.
$$ \sqrt[ \color{#F00}{a} ]{ x^{ \color{#00F}{b} } } = x^{ \frac{ \color{#F00}{a} }{ \color{#00F}{b} } } $$
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