Widerspruch beim Wurzel-Potenz-Umwandeln

Bei der Wurzel-Potenz-Überführung bei negativem Radikand kann es eventuell zu Konflikten kommen, wenn man beispielsweise wie folgt umformt:

\( { \sqrt [ 3 ] { - 8 } \textcolor{#F00}{= -2} \\ = \sqrt [ 3 ] { ( - 8 ) ^ { 1 } } \\ = ( - 8 ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \\ = ( - 8 ) ^ { \frac { 1 · 2 } { 3 · 2 } } \\ = ( - 8 ) ^ { \frac { 2 } { 6 } } \\ = \sqrt [ 6 ] { ( - 8 ) ^ { 2 } } \\ = { \sqrt [ 6 ] { 64 } \textcolor{#F00}{= 2} } \)

Jedoch: -2 ≠ 2

Das Problem entsteht, wenn man den Exponenten (der Bruch \( \frac{1}{3} \)) erweitert und damit einen anderen Exponenten schafft (3. Wurzel wird zu 6. Wurzel, hoch 1 wird zu hoch 2), wodurch letztlich ein positiver Radikand entsteht.

Man sollte einen gebrochenen Exponenten also stets nur verändern, wenn der Radikand positiv ist.

Grundsätzlich gilt jedoch: Wurzeln lassen sich immer in Potenzen überführen, sofern der Radikand x positiv ist und der Wurzelexponent a eine natürliche Zahl ist.

\( \sqrt[ \textcolor{#F00}{a} ]{ x^{ \textcolor{#00F}{b} } } = x^{ \frac{ \textcolor{#F00}{a} }{ \textcolor{#00F}{b} } } \)