Widerspruch beim Wurzel-Potenz-Umwandeln

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Bei der Wurzel-Potenz-Überführung bei negativem Radikand kann es eventuell zu Konflikten kommen, wenn man beispielsweise wie folgt umformt:

$$\begin{array} { l } { \sqrt [ 3 ] { - 8 } \color{#F00}{= -2} = \sqrt [ 3 ] { ( - 8 ) ^ { 1 } } = ( - 8 ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } = \\ { ( - 8 ) ^ { \frac { 1 · 2 } { 3 · 2 } } = ( - 8 ) ^ { \frac { 2 } { 6 } } = \sqrt [ 6 ] { ( - 8 ) ^ { 2 } } } = \\ { \sqrt [ 6 ] { 64 } \color{#F00}{= 2} } \end{array}$$

Jedoch: \( \color{#F00}{-2 \neq 2} \)

Das Problem entsteht, wenn man den Exponenten (der Bruch Ein-Drittel) erweitert und damit einen anderen Exponenten schafft (3. Wurzel wird zu 6. Wurzel, hoch 1 wird zu hoch 2), wodurch letztlich ein positiver Radikand entsteht. Man sollte einen gebrochenen Exponenten also stets nur verändern, wenn der Radikand positiv ist.

Es gilt jedoch stets, sofern der Radikand x positiv ist und der Wurzelexponent a eine natürliche Zahl: Wurzeln lassen sich in Potenzen überführen. Potenzen lassen sich in Wurzeln überführen.

$$ \sqrt[ \color{#F00}{a} ]{ x^{ \color{#00F}{b} } } = x^{ \frac{ \color{#F00}{a} }{ \color{#00F}{b} } } $$

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