Wurzelwert berechnen: Intervallschachtelung durch Annäherung

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Es gibt Methoden bzw. Rechenverfahren, mit denen man Wurzeln näherungsweise berechnen kann. Drei davon werden im Folgenden vorgestellt.

Bei dieser Methode versucht man eine Wurzel näherungsweise zu berechnen, indem man sich zwei Werte nimmt, die im Quadrat nah an dem Radikanden der gesuchten Wurzel liegen. Diese Werte verringert (oder erhöht) man dann immer wieder um einen kleinen Betrag, sodass man dem gesuchten Wurzelwert näherkommt. Machen wir das anhand eines Beispiels. Berechnen wir:

$$ \sqrt { 5 } = x $$

Wir nehmen uns jetzt als untere Grenze den Wert 2 und als obere Grenze den Wert 3. Wir wissen, dass:

$$ { 2 }^{ 2 } = 4\qquad { 3 }^{ 2 } = 9 $$

Unser gesuchter Wert liegt also zwischen 2 und 3, denn:

$$ \sqrt { 4 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 9 } \\ 2 < x < 3 $$

Wir müssen nun entweder die obere Grenze verringern oder die untere Grenze erhöhen. Man sollte immer den Wert wählen, der im Quadrat näher am Radikanden der Wurzel liegt. Wählen wir die untere Grenze, erhöhen diese und testen die Quadrate der erhöhten Werte. Wir erhöhen im Nachkommastellenbereich, da unsere Zahl zwischen 2 und 3 liegt und somit keine ganze Zahl ist. Also:

$$ { 2,1 }^{ 2 } = 4,41 \qquad { 2,2 }^{ 2 } = 4,84 \qquad { 2,3 }^{ 2 } = 5,29 $$

Wir können uns nun neue Grenzen legen, der gesuchte Wert muss zwischen √4,84 und √5,29 liegen:

$$ \sqrt { 4,84 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 5,29 } \\ 2,2 < x < 2,3\\ $$

Möchten wir noch genauer an den gesuchten Wert gelangen, so müssen wir wieder eine Nachkommastelle anhängen. Wir fahren so fort wie gerade gezeigt. Betrachten wir also die Quadrate der Werte, die etwas größer als die neue untere Grenze sind:

$$ { 2,21 }^{ 2 } = 4,8841 \qquad { 2,22 }^{ 2 } = 4,9248 \qquad { 2,23 }^{ 2 } = 4,9729 \qquad { 2,24 }^{ 2 } = 5,0176 $$

Wir können uns jetzt 2,23 und 2,24 nun als neue Grenzen setzen, da der gesuchte Wert zwischen √4,9729 und √5,0176 liegen muss:

$$ \sqrt { 4,9729 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 5,0176 } \\ 2,23 < x < 2,24 $$

Wenn wir kein noch genaueres Ergebnis haben möchten, können wir sagen, dass:

$$ \sqrt { 5 } \approx 2,24 $$

Soll die gesuchte Zahl aber noch genauer bestimmt werden, so müssten wir mit dem Verfahren weitere Nachkommastellen finden. Angemerkt sei aber, dass die Zahl, die wir suchen, irrational ist. Sie hat unendlich viele Nachkommastellen. Mit dem Verfahren können wir uns irrationalen Zahlen also immer mehr annähern. Wir können sie jedoch nie genau bestimmen. Exakt ist die Angabe des Wurzelwertes nur mit dem Wurzelzeichen als √5 möglich.

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