Wurzelwert berechnen: Intervallschachtelung durch Mittelwertbildung
Diese Methode beruht auf dem selben Prinzip wie die vorherige Methode (Intervallschachtelung durch Annäherung). Der Unterschied liegt nur darin, wie wir uns unsere neue Grenze wählen.
Haben wir zwei Anfangsgrenzen, so betrachten wir deren Mittelwert und setzen uns diesen als neue obere oder untere Grenze.
Wenden wir die Methode auf unser Beispiel an:
\( \sqrt { 5 } = x \)
Wir wählen wieder 2 und 3 als Grenzen.
\( \sqrt { 4 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 9 } \\ 2 < x < 3 \)
Wir bilden den Mittelwert der Grenzen:
\( \frac { 2+3 }{ 2 } = 2,5 \)
Überprüfen wir das Quadrat des Mittelwertes:
\( { 2,5 }^{ 2 } = 6,25 \)
Da das Quadrat größer als 5 ist, ist 2,5 unsere neue obere Grenze. Wir erhalten also:
\( \sqrt { 4 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 6,25 } \\ 2 < x < 2,5 \)
Erneut bilden wir jetzt den Mittelwert, um einen genaueren Wert zu erhalten:
\( \frac { 2+2,5 }{ 2 } = 2,25 \)
Auch hier wird das Quadrat überprüft:
\( { 2,25 }^{ 2 } = 5,0625 \)
Also haben wir 2,25 als neue obere Grenze und somit:
\( \sqrt { 4 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 5,0625 } \\ 2 < x < 2,25 \)
Führen wir dieses Verfahren weiter aus, so erhalten wir auch hier ein genaueres Ergebnis.