Wurzelgesetze

Die allgemeinen Rechenregeln für Wurzeln werden hier dargestellt.

Potenz und Wurzel heben sich gegenseitig auf (das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens).

\( \sqrt [ 2 ]{ x^2 } = x \\ \sqrt [ a ]{ x^a } = x \)

Der Exponent der Potenz kann aus der Wurzel herausgezogen werden:

\( \sqrt [ \color{red}{a} ]{ x^\color{blue}{b} } = (\sqrt [ \color{red}{a} ]{ x })^\color{blue}{b} \)

Bei Umwandlung einer Wurzel in eine Potenz geht der Wurzelexponent in den Exponenten der Potenz wie folgt über:

\( \sqrt [ \color{red}{a} ]{ x^\color{blue}{b} } = x^{\frac { \color{blue}{b} }{ \color{red}{a} }} \)

Dies ist immer problemlos möglich, wenn x positiv ist und a eine natürliche Zahl. Ansonsten kann es unter Umständen zu Widersprüchen kommen.

Wenn wir den Standardfall haben, also einfach eine Wurzel aus einer Zahl ziehen, dann können wir so umwandeln:

\( \sqrt [ \color{red}{a} ]{ x } = \sqrt [ \color{red}{a} ]{ x^1 } = x^{\frac { 1 }{ \color{red}{a} } } \)

Die Wurzel aus 1 ist stets 1, da 1 hoch jede beliebige Zahl stets 1 ergibt:

\( \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{1} } = 1 \xrightarrow{denn} 1^\color{red}{a} = \color{green}{1} \)