Gleichungen umformen mit Wurzeln

Manchmal müssen wir „plus-minus die Wurzel ziehen“, um ein positives und ein negatives Ergebnis zu erhalten. Beispiel:

Äquivalenzumformung plus-minus-Wurzel

Wir erhalten zwei Ergebnisse, denn es gilt: (+2)² = 4 sowie (-2)² = 4

Man spricht hier von der Mehrdeutigkeit der Wurzel (Fachbegriff Ambiguität). Merkt euch: Eine reelle Zahl (egal ob positiv oder negativ) ergibt quadriert immer den gleichen positiven Wert. Wenn wir jedoch eine Wurzel aus einer Zahl ziehen, dann gibt es zwei mögliche Lösungen (eine positive und eine negative).

Die Schreibweise beim Beispiel oben mit ±√ ist mathematisch nicht ganz korrekt, korrekt wäre die Notation mit Betrag:

$$ \begin{align*}&&x^2 &= 4 & |\,\sqrt{\phantom{0}} \\ &&\sqrt{x^2} &= \sqrt{4} \\ &\implies&|x| &= 4 \end{align*} $$

Mit Hilfe des Betrages von x erhalten wir das positive und negative Ergebnis:

$$ \begin{array} { l } \implies x = \pm 4 \\ { \implies x _ { 1 } = + 2 } \\ { \implies x _ { 2 } = - 2 } \end{array} $$

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