Wurzelwert berechnen: Heron-Verfahren

Das Heron-Verfahren beruht auf einem geometrischem Ansatz. Wir wissen, dass die Seiten eines Quadrates gleichlang sind.

Quadrat

Der Flächeninhalt A lässt sich bei diesem Quadrat mit A = a·a bestimmen. Die Wurzel des Flächeninhaltes ist somit gleich einer Seitenlänge a. (A = a², damit a = √A). Diese Eigenschaft machen wir uns beim Heron-Verfahren zu nutze.

Wir können aus dem Quadrat ein Rechteck mit dem gleichen Flächeninhalt A machen (das Quadrat hat die gleiche Fläche wie das Rechteck):

Rechteck

Den Flächeninhalt berechnen wir mit A = a·b . Soll aus diesem Rechteck jetzt ein Quadrat werden, ohne dass der Flächeninhalt verändert werden soll, so muss die Seite b kleiner werden und die Seite a um den selben Faktor größer. Auf diesen Sachverhalten beruht das Heron-Verfahren. Wenden wir das Verfahren an einem Beispiel an:

$$ \sqrt { 16 } = x $$

Wir wollen nun x berechnen. Also bilden wir ein Rechteck, dessen Flächeninhalt 16 ist. Wir nehmen als Seitenlängen 8 und 2, denn 8·2 = 16.

rechteck 2 mal 8

Die längere Seite muss nun verkleinert werden. Das machen wir, indem wir den Mittelwert der beiden Seiten bilden:

$$ \frac { 8+2 }{ 2 } = 5 $$

Eine der neuen Seitenlängen ist also 5. Da der Flächeninhalt weiterhin gleich bleiben soll muss gelten:

$$ 16 = 5·a $$

Wir bestimmen daraus also die neue zweite Seitenlänge:

$$ 16 = 5·a\\ \frac{16}{5} = a\\ 3,2 = a $$

Unser neues Rechteck sieht also so aus:

rechteck 5 mal 3,2

Da wir jetzt aber noch kein Quadrat erhalten haben, bilden wir erneut den Mittelwert der beiden Seitenlängen und nehmen diesen als neue Seitenlänge. Dann bestimmen wir die dazugehörige zweite Seite des Rechtecks:

$$ \frac { 5+3,2 }{ 2 } = 4,1 $$

Die zweite Seite berechnen:
$$ 16 : 4,1 \approx 3,9 $$

rechteck 4,1 mal 3,9

Wir nähern uns unserem Quadrat immer mehr an. Wiederholen wir den Vorgang noch ein letztes Mal:

$$ \frac { 4,1 + 3,9 }{ 2 } = 4 $$

Wir erhalten jetzt ein Quadrat:

heron verfahren rechteck quadrat

Die Lösung von:

$$ \sqrt { 16 } = x $$

ist also die Seitenlänge des Quadrates. Wir erhalten damit:

$$ \sqrt { 16 } = 4 $$

Damit man sich nicht bei jedem Schritt Rechtecke aufzeichnen oder denken muss, gibt es eine Formel, die bei jedem Schritt verwendet werden kann:

$$ { x }_{ n+1 } = \frac { { x }_{ n } + \frac { A }{ { x }_{ n } } }{ 2 } $$

xn ist jeweils eine Seite unseres jetzigen Rechteckes und xn+1 ist eine Seite des nächsten Rechteckes. Benutzen wir die Formel anhand eines Beispieles. Wir wollen folgendes berechnen bzw. annähern:

$$ \sqrt { 79 } = 8,88819441731558885 ≈ 8,888 $$

Wenden wir jetzt die Formel an und wählen als Startwert: x0 = 10

$$ { x }_{ 1 } = \frac { 10 + \frac { 79 }{ 10 } }{ 2 } = 8,95 $$

Jetzt setzen wir x1 = 8,95 als neuen Wert in die Formel ein:

$$ { x }_{ 2 } = \frac { 8,95 + \frac { 79 }{ 8,95 } }{ 2 } \approx 8,888 $$

Wir sind jetzt bereits nach zwei Schritten fertig, denn:

$$ 8{ 8,888 }^{ 2 } \approx 79 \\ \sqrt { 79 } \approx 8,888 $$

Wir sehen also, dass man mit dem Heron-Verfahren schnell ans Ziel gelangt.

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