Verschachtelte Wurzel

Lesedauer: 2 min | Vorlesen

Bei einer verschachtelten Wurzel (Wurzel aus Wurzel) kann man die Wurzelexponenten miteinander multiplizieren.

$$ \sqrt [ a ]{ \sqrt [ b ]{ x } } = \sqrt [ a \cdot b ]{ x } $$

Wir können die Formel über die Umwandlung zu Potenzen herleiten (\( \sqrt[a]{b} = b^{\frac{1}{a}} \)), dies sei mit Werten gezeigt:

\( \sqrt[ \color{#F00}{3} ]{\sqrt[2]{5}} = \sqrt[ \color{#F00}{3} ]{ (\sqrt[2]{5})^\color{#00F}{1} } = (\sqrt[2]{5})^\frac{\color{#00F}{1}}{\color{#F00}{3}} \\ (\sqrt[2]{5})^\frac{1}{3} = (\sqrt[\color{#F00}{2}]{5^\color{#00F}{1}})^\frac{1}{3} = (5^\frac{\color{#00F}{1}}{\color{#F00}{2}})^\frac{1}{3} \\ = 5^{\frac{1}{2}·\frac{1}{3}} = 5^{\frac{1}{2·3}} \\ 5^{\frac{1}{2·3}} = \sqrt[2·3]{5} = \sqrt[3·2]{5} \)

Wir erkennen die Formel am ersten und letzten Term:

\( \sqrt[ \color{#F00}{3} ]{\sqrt[ \color{#00F}{2} ]{5}} = \sqrt[\color{#F00}{3}·\color{#00F}{2}]{5} \)

Allgemein damit:

\( \sqrt[ \color{#F00}{a} ]{\sqrt[ \color{#00F}{b} ]{c}} = \sqrt[\color{#F00}{a}·\color{#00F}{b}]{c} \)

  Hinweis senden