AB: Lektion Wurzeln (Teil 8)

1.

Im Folgenden sind Aufgaben zu lösen, die dir so oder ähnlich in einer Abschlussprüfung begegnen könnten.

a)

Berechne den Wurzelwert bei √0,25 und bei √1,21.

\( \sqrt{0,25} = \sqrt{0,5·0,5} = \sqrt{0,5^2} = 0,5 \\ \sqrt{1,21} = \sqrt{1,1·1,1} = \sqrt{1,1^2} = 1,1 \)

b)

Bei welcher Zahl entspricht der Radikand gleich seinem Wurzelwert?

Gefragt ist nach diesem Sachverhalt: √x = x.

Dies ist nur für zwei Zahlen erfüllt:
√0 = 0
√1 = 1

c)

Ein Würfel hat eine Oberfläche von 60 cm². Berechne die Seitenlänge und das Volumen.

A = 6·a²   | allg. Formel für die Würfel-Oberfläche, Addition der 6 Seitenflächen
60 cm² = 6·a²   | gegebene Würfel-Oberfläche eingesetzt
60 cm² = 6·a²   | :6
60 cm² : 6 = a²
a² = 10 cm²   | ±√ Wurzel ziehen
\( a^2 = \pm \sqrt{10 cm^2} \)
a1 = +√10 cm
a2 = –√10 cm   | eine Seite kann keine negative Länge haben, also ist nur a1 = √10 cm korrekt

Die Seitenlänge beträgt: a = √10 cm ≈ 3,1623 cm

Volumen berechnen:
V = a³   | a = √10 cm einsetzen
V = (√10 cm)³
V = (√10)³ cm³
V = (√10)³ cm³
\( V = \sqrt{10}^2 · \sqrt{10}^1 cm^3 \)
V = 10·√10 cm³

Das Volumen beträgt: V = 10·√10 cm³ ≈ 31,623 cm³

d)

Kann man √5 + √5 irgendwie vereinfachen (kürzer schreiben)?

Mit den Wurzelgesetzen können wir hier nichts vereinfachen, da die beiden Wurzeln per Addition miteinander verbunden sind (und nicht durch Multiplikation oder Division).

Wir könnten die Addition jedoch so als Multiplikation schreiben: √5 + √5 = 2·√5

Zusätzlich können wir diesen Term als alleinstehende Wurzel schreiben: 2·√5 = √4·√5 = \( \sqrt{4·5} \) = √20

e)

Du sollst die Diagonale bei einem Quadrat bestimmen. Die Quadratsseite hat allgemein die Länge x. Wie lang ist die Diagonale?

Zuerst erstellen wir eine Skizze:

Die Diagonale d können wir mit Hilfe vom Satz des Pythagoras bestimmen. Allgemein: a² + b² = c², wobei a und b die kurzen Seiten sind.

Für das Quadrat:
a² + b² = c²
x² + x² =
2·x² = d²
d² = 2·x²   | ±√ Wurzel ziehen
\( d = \pm \sqrt{2·x^2} \)
Eine Seite kann keine negative Länge haben, nur der positive Wert ist korrekt
\( d =\sqrt{2·x^2} \)

Die Diagonale ergibt sich allgemein durch die Formel: \( d =\sqrt{2·x^2} \)

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