AB: Lektion Zinsrechnung (Teil 6)
Für die folgenden Aufgaben möchten wir euch bitten, den Lösungsweg vollständig aufzuschreiben, damit ihr beim Vergleich mit den Lösungen eure Fehlerquellen besser entdeckt.
Die nachfolgenden Aufgaben sind ohne Zinseszins zu rechnen, das heißt die jährlichen Zinsen werden nicht mitverzinst.
Deine Eltern haben für dich etwas Geld gespart, nach 3 Jahren Anlage ist ein Kapital von 4.420,88 Euro entstanden. Der Zinssatz war konstant bei 5,5 %. Wie viel Geld hatten deine Eltern zu Beginn der Laufzeit angelegt?
Geldanlage, 3 Jahre Laufzeit, Endkapital 4.420,88 Euro, Zinssatz 5,5 %, gesucht Betrag der Geldanlage
Endkapital = Startkapital + Zinsen
Zinsen auf das Startkapital für 3 Jahre:
Z1 = K0 · p
Z2 = K0 · p
Z3 = K0 · p
Endkapital = K0 + 3·(K0 · p)
4.420,88 € = K0 + 3·(K0 · p)
4.420,88 € = K0 + 3·(K0 · 5,5 %)
4.420,88 € = K0 + 3·K0 · 0,055
4.420,88 € = K0 + 0,165·K0
4.420,88 € = 1·K0 + 0,165·K0
4.420,88 € = 1,165·K0 | : 1,165
K0 = 4.420,88 € : 1,165
K0 ≈ 3.794,75 €
Antwort: Deine Eltern hatten 3.794,75 Euro zu Beginn der Laufzeit angelegt.
Wir haben einen hohen Kredit für 4 Monate aufgenommen, Zinssatz 7 %. Anschließend müssen wir 43.302 Euro zurückzahlen. Wie hoch war der ursprünglich aufgenommene Kreditbetrag?
Kredit, 4 Monate Laufzeit, Zinssatz 7 %, Rückzahlung 43.302 Euro, gesucht ursprüngliche Kreditbetrag
Rückzahlung = Kreditbetrag + Zinsen
Endkapital = Startkapital + Zinsen
Zinsen auf den Kredit für 4 Monate
Z = K · p · t
Z = K · p · 4 Monate / 12 Monaten
Z = K · p · 4/12
Endkapital = Startkapital + Zinsen
Endkapital = K0 + K0 · p · 4/12
43.302 € = K0 + K0 · 7 % · 4/12
43.302 € = K0 + K0 · 0,07 · 4/12
43.302 € = K0 + K0 · 0,0233333
43.302 € = 1·K0 + 0,0233333·K0
43.302 € = 1,0233333·K0 | :1,0233333
K0 = 43.302 € : 1,0233333
K0 ≈ 42.314,66 €
Antwort: Der ursprünglich aufgenommene Kreditbetrag belief sich auf etwa 42.314,66 Euro.
1.000 Euro werden zu einem Zinssatz von 5 % angelegt. Laufzeit: 20 Jahre. Die Zinsen werden jährlich ausgezahlt. Wie viele Zinsen haben wir am Ende der Laufzeit insgesamt ausgezahlt bekommen?
1.000 Euro Anlage, Zinssatz 5 %, Laufzeit 20 Jahre, Zinsen jährlich ausgezahlt, gesucht Gesamtzinsen
Z = K · p · t
Z = 1.000 € · 5 % · 20 Jahre
Z = 1.000 € · 0,05 · 20
Z = 1.000 €
Antwort: Nach 20 Jahren haben wir insgesamt 1.000 Euro Zinsen ausgezahlt bekommen.
Maria legt das Geld, das sie zur Konfirmation/Jugendweihe bekommen hat, für ein Jahr als Festgeld an.
Am Ende erhält sie 140 Euro Zinsen.
1) Wie viel Zinsen hätte sie erzielt, wenn sie nur die Hälfte des Geldes angelegt hätte?
2) Wie viel Zinsen hätte sie erzielt, wenn sie die Hälfte des Geldes bei doppelt so hohem Zinssatz angelegt hätte?
Festgeld 1 Jahr, Zinsen 140 Euro, gesucht a) Zinsen bei Hälfte der Geldanlage, b) Zinsen bei Hälfte der Geldanlage und doppelt so hohem Zinssatz
Z = K · p
Z = K · p = 140 Euro
a) Kapital wird halbiert, also: K à K:2
Z = K · p | :2
Z:2 = K : 2 · p
Antwort: Mit der Hälfte der Geldanlage wird auch nur die Hälfte der Zinsen erzielt.
b) Kapital wird halbiert, also: K à K:2 und Zinssatz verdoppelt p à p·2
Z = K · p | :2
Z:2 = K : 2 · p | ·2
Z = K :2 · p ·2
Z = K · p
Antwort: Wir erhalten die gleichen Zinsen wie in der Aufgabe beschrieben, also 140 Euro.
Für deine 1.200 Euro erhältst du 6,6 % Zinsen, deine Eltern legen für dich separat 1.700 Euro an, zu einem Zinssatz von 3,1 %. Wie viele Jahre dauert es, bis sich auf beiden Bankkonten in etwa der gleiche Betrag befindet?
10. Kapital A mit 1.200 Euro, Zinssatz 6,6 %, Kapital B (Eltern) 1.700 Euro, Zinssatz 3,1 %, gesucht: Jahre, bis beide Kapitale den gleichen Betrag haben
ZA = K · p · t ZB = K · p · t
ZA = 1.200 € · 6,6 % · t ZB = 1.700 € · 3,1 % · t
ZA = 1.200 € · 0,066 · t ZB = 1.700 € · 0,031 · t
ZA = 79,20 € · t ZB = 52,70 € · t
Kapital A + Zinsen A = Kapital B + Zinsen B
1.200 € + Zinsen A = 1.700 € + Zinsen B
1.200 € + (79,20 € · t) = 1.700 € + (52,70 € · t)
1.200 € + 79,20 € · t = 1.700 € + 52,70 € · t | - 1.200 €
79,20 € · t = 500 € + 52,70 € · t | - 52,70 € · t
26,50 € · t = 500 € | : 26,50 €
t ≈ 18,868 Jahre
Antwort: Beide Geldanlagen werden nach ca. 18,868 Jahren den gleichen Betrag aufweisen.