Mathe G02: Kommutativgesetz + Assoziativgesetz

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 5. - 6. Klasse

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Diese Lektion betrachtet die zwei grundlegenden Rechengesetze der Mathematik: Kommutativgesetz und Assoziativgesetz. Das dritte wichtige Rechengesetz, das Distributivgesetz, schauen wir uns in der nächsten Lektion an.

Mathe-Video G02 Kommutativgesetz und Assoziativgesetz

Wir betrachten uns zwei wichtige Rechenregeln: Das Kommutativgesetz mit a + b = b + a sowie das Assoziativgesetz: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c). Beides gilt auch für die Multiplikation.

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Wissen zur Lektion

Kommutativgesetz

Kommutativ meint das Vertauschen der einzelnen Zahlen. Assoziativ meint das beliebige Verknüpfen (Zusammenrechnen) der Zahlen.

Beide Rechengesetze können für Addition und Multiplikation genutzt werden. Jedoch nicht für Subtraktion und Division.

Wir nutzen im Folgenden Variablen zur Darstellung der Gesetze. Variablen sind Buchstaben, die anstelle von Zahlen stehen. Wenn wir 3 + 5 = 8 haben, können wir schreiben a + b = c. Wir wissen dann, dass a=3 und b=5 und c=8. Bei a + b = c können wir beliebige Zahlen einsetzen, zum Beispiel a=2 und b=4 und damit ergibt sich c=6, also 2 + 4 = 6. Man nutzt Varialben also, um einen Sachverhalt allgemein darzustellen. Genau dies machen wir hier (ihr könnt euch für a und b jeweils zwei Zahlen wählen und das Rechengesetz so testen):

Für die Addition:
a + b = b + a

Für die Multiplikation:
a · b = b · a

Grafische Darstellung von Assoziativ- und Kommutativgesetz

Assoziativgesetz grafisch

Kommutativgesetz der Addition grafisch

Kommutativgesetz der Multiplikation grafisch

Assoziativgesetz

Für die Addition:
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

Für die Multiplikation:
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)

Klammern entfernen

Sofern wir nur Additionen oder nur Multiplikationen in einer Aufgabe haben, dürfen wir vorhandene Klammern entfernen. Ein Beispiel:

3 + (5 + 1 + 9) + 2 = 3 + 5 + 1 + 9 + 2

Es ist hierbei gleichgültig, welche Zahlen wir als erstes zusammenaddieren. An dieser Stelle greift das Assoziativgesetz, bei dem wir beliebig verknüpfen dürfen.

Ein Beispiel für die Multiplikation, bei dem auch einfach die Klammern weggelassen werden können:

5 · (2 · 3 · 6) · 3 = 5 · 2 · 3 · 6 · 3

Kommutativgesetz in der Sprache

Das Kommutativgesetz findet man übrigens auch in den Sprachen wieder. Auf Deutsch sprechen wir zum Beispiel die Zahl 49 als "neun und vierzig". Mathematisch geschrieben ist das: 9 und 40, also 9 + 40. Auf Englisch spricht man hingegen die Zahl 49 als "forty-nine", also 40 + 9. Wie wir sehen, wurde hier das Kommutativgesetz "angewendet".

Assoziativgesetz bei Mehrfachdivision

a:b:c:d ← nicht assoziativ, nicht kommutativ, einzeln von links nach rechts rechnen! Also damit ((a:b):c):d

Oder die Multiplikation mit Brüchen schaffen: a:b:c:d = a·1/b·1/c·1/d

Interessant ist dabei auch, dass a:b:c = a:(b·c) bzw. a:b:c:d = a:(b·c·d)

Kommutativgesetz für Multiplikation (via Addition)

Ein anschauliches Beispiel, das zeigt, dass das Kommutativgesetz auch für die Multiplikation gilt, also a·b = b·a. Wir zerlegen hierzu die Zahlen in kleinere Zahlen und verwenden das Kommutativgesetz der Addition:

= 3 · 4
= 4 + 4 + 4
= (3+1) + (3+1) + (3+1)
= 3 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1
= 3 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1
= 3 + 3 + 3 + 3
= 4 · 3

Kommutativgesetz mit drei Variablen

Addition:
a + b + c =
a + c + b =
b + a + c =
b + c + a =
c + a + b =
c + b + a

Multiplikation:
a · b · c =
a · c · b =
b · a · c =
b · c · a =
c · a · b =
c · b · a

Wenn ihr denkt, die beiden Rechengesetze gut zu beherrschen, dann versucht als nächstes, die Aufgaben zum Kommutativ- und Assoziativgesetz zu lösen!

Lernprogramme

Zu den beiden Rechengesetzen gibt es keine Lernprogramme.


Übungsaufgaben

A. Berechne folgende Aufgaben vorteilhaft mit Hilfe des Kommutativ- und des Assoziativgesetzes (im Kopf, also ohne Taschenrechner):
1. 74 + 88 + 12 =
2. 67 + 192 + 8 =
3. 15 · 5 · 2 =
4. 9 · 5 · 20 =
5. 19 + 3 · 7 =
6. 13 · 2 + 4 =
7. 45 · 2 - 19 =
8. 45 - 2 · 19 =
9. 19 + 26 + 11 + 4 + 10 =
10. 25 + 19 + 5 - 9 + 10 =


B. Löse die nachstehenden, gemischten Textaufgaben:
1. Mit welchem der beiden Rechengesetze kannst Du 3 + 5 umdrehen?
2. Kannst Du bei der Aufgabe 3 · (9 + 4) das Assoziativgesetz anwenden?
3. Kannst Du bei der Aufgabe 3 + (9 + 4) das Kommutativgesetz anwenden? (Die Klammern dürfen nicht aufgelöst werden.)
4. Kannst Du bei der Aufgabe 3 + 9 + 4 das Assoziativgesetz anwenden?
5. Hat 3 · (4 + 2) den gleichen Wert wie 6 · 3?
6. Hat 5 · 7 · 9 den gleichen Wert wie 5 · 7 + 9?
7. Schreibe die Multiplikation 3 · 5 als Addition.
8. Schreibe die Multiplikation 3 · (3+2) als Addition.


C. Zusatzaufgaben
1. Hast Du eine Idee, wie man das (2+1) · (3+2) als Addition schreiben könnte.
2. Kannst Du das Assoziativgesetz auch anwenden, wenn Klammern gesetzt sind?
3. Kannst Du das Kommutativgesetz anwenden, wenn Klammern gesetzt sind? Als Beispiel (3 · 5) + 6?
4. "Tom hat gestern 5 Euro bekommen, heute 2 Euro und morgen 9 Euro. Wie viel Geld hat er nun?" ... Wenn Du nun das Kommutativgesetz auf diese Mini-Sachaufgabe anwendest, wie könntest Du sie anders formulieren? (Denke daran, es muss immer noch das gleiche Ergebnis herauskommen.)


Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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Tags: Video, Rechengesetze, Kommutativgesetz und Assoziativgesetz

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