CHECK: Ableitungen II

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1. Gib die Ableitung für die Funktion \( f(x) = 4x^4 - 4x^2 - 15 \) an.

\( f(x) = 4x^4 - 4x^2 - 15 \\ f´(x) = 4·4x^{4-1} - 2·4x^{2-1} \\ f´(x) = 16x^3 - 8x \)

2. Wie lautet die Ableitung von \( f(x) = 3x^3 + 4x^2 + 2x \)?

\( f(x) = 3x^3 + 4x^2 + 2x^1 \\ f´(x) = 3·3x^{3-1} + 2·4x^{2-1} + 1·2x^{1-1} \\ f´(x) = 9x^2 + 8x^1 + 2x^0 \\ f´(x) = 9x^2 + 8x + 2·1 \\ f´(x) = 9x^2 + 8x + 2 \)

3. An welchen Stellen nimmt die Funktion \( f(x) = 4x^3 + 3·x + 6 \) die Steigung 15 an?

Wir bilden die Ableitung und setzen ein:

\( f(x) = 4·x^3 + 3·x + 6 \\ f‘(x) = 12·x^2 + 3 \\ f‘(x) = 12·x^2 + 3 = 15 \\ 12·x^2 + 3 = 15 \\ 12·x^2 = 12 \\ x^2 = 1 \\ x = ±1 \)

4. Wie viele Extremstellen besitzt die Funktion \( f(x) = x^3 - 27·x \)? (Hinweis: Die Funktion besitzt keine Sattelpunkte.)

Wir leiten ab:

f‘(x) = 3·x² - 27
0 = 3·x² - 27
27 = 3·x²
9 = x²
x = 3 und x = -3

Da die Funktion keine Sattelpunkte besitzt, haben wir 2 Extremstellen.

5. Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = √x? (Hinweis: x ≥ 0)

\( f(x) = \sqrt{x} = x^{ \frac{1}{2} } \)

Nach der Potenzregel:

\( f´(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{(\frac{1}{2}-1)} \\ f´(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} \\ f´(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \\ f´(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \\ f´(x) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \)


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