CHECK: Ableitungen II

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1. Gib die Ableitung für die Funktion f(x) = 4x4 - 4x2 - 15 an.

Lösungsschritte:

f(x) = 4x4 - 4x2 - 15
f'(x) = 4·4x4-1 - 2·4x2-1
f'(x) = 16x3 - 8x

2. Wie lautet die Ableitung von f(x) = 3x3 + 4x2 + 2x?

Lösungsschritte:

f(x) = 3x3 + 4x2 + 2x1
f'(x) = 3·3x3-1 + 2·4x2-1 + 1·2x1-1
f'(x) = 9x2 + 8x1 + 2x0
f'(x) = 9x2 + 8x + 2·1
f'(x) = 9x2 + 8x + 2

3. An welchen Stellen nimmt die Funktion f(x) = 4x3 + 3·x + 6 die Steigung 15 an?

Wir bilden die Ableitung und setzen ein:

f(x) = 4·x3 + 3·x + 6
f‘(x) = 12·x2 + 3
f‘(x) = 12·x2 + 3 = 15
12·x2 + 3 = 15
12·x2 = 12
x2 = 1
x = ±1

4. Wie viele Extremstellen besitzt die Funktion f(x) = x3 - 27·x? (Hinweis: Die Funktion besitzt keine Sattelpunkte.)

Wir leiten ab:

f‘(x) = 3·x² - 27
0 = 3·x² - 27
27 = 3·x²
9 = x²
x = 3 und x = -3

Da die Funktion keine Sattelpunkte besitzt, haben wir 2 Extremstellen.

5. Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = √x? (Hinweis: x ≥ 0)

\( f(x) = \sqrt{x} = x^{ \frac{1}{2} } \)

Nach der Potenzregel:

\( f'(x) = \frac{1}{2} · x^{(\frac{1}{2}-1)} \\ f'(x) = \frac{1}{2} · x^{-\frac{1}{2}} \\ f'(x) = \frac{1}{2} · \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \\ f'(x) = \frac{1}{2} ·\frac{1}{\sqrt{x}} \\ f'(x) = \frac{1}{2 · \sqrt{x}} \)


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