CHECK: Ableitungen IV

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1. Zylindervolumen für maximales Volumen optimieren

Das maximale Volumen eines Zylinders soll erreicht werden. Die Gesamtheit der Flächen aus Böden und Mantel soll dabei als fest vorgegeben betrachtet werden. Wie verhalten sich der Radius r und die Höhe h zueinander, wenn diese Forderungen erfüllt sind?

Im Folgenden die Lösung in einzelnen Schritten:

1. Wir stellen die Formeln für V und A auf, und stellen die Formel für A nach h um:

$$ V = h ·\pi·r^2 \\ A = 2·\pi·r·h + 2·\pi·r^2 \\ A - 2·\pi·r^2 = 2·\pi·r·h \\ \frac{A -2·\pi·r^2}{ 2·\pi·r } = h \\ h = \frac{A }{ 2·\pi·r } -r $$

2. Nun setzen wir den Term für h in die Formel für V ein und leiten ab:

$$ V = (\frac{A }{ 2·\pi·r } -r )·\pi·r^2 \\ V = \frac{A ·\pi·r^2}{ 2·\pi·r } -\pi r^3 \\ V = \frac{A ·r}{ 2 } - \pi r^3 \\ V' = \frac{A }{ 2 } -3 \pi r^2 \\ V' = 0 \\ 3 \pi r^2 = \frac{A }{ 2 } \\ r = \sqrt{\frac{A }{ 6 \pi} } \\ h = \frac{A }{ 2·\pi·r } -r \\ h = \frac{6 \pi r^2 }{ 2·\pi·r } - r \\ h = \frac{6 r }{ 2 } -r \\ h = 3 r -r \\ h = 2·r $$

2. Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = x² + sin(4x+3)?

Summenregel: (g ± h)' = g' ± h'

Für g(x) = x²
g'(x) = 2x

Für h(x) = sin(4x + 3):
Sinus abgeleitet: sin(u) = cos(u)
cos(4x + 3)
Innere Ableitung: 4x + 3 → 4
h'(x) = 4·cos(4x + 3)

f' = g' + h' = 2x + 4·cos(4x + 3)

3. Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = -3·cos(4x²)?

Die Ableitung von -cos(x) ist sin(x). Die 3 bleibt bestehen und das Argument (4x²) ebenfalls, soweit der erste Zwischenschritt:

f'(x) = 3 · sin(4x²)

Die innere Ableitung (die Ableitung der 4x²) ergibt 8x, der Term muss damit multipliziert werden und wir erhalten das Endergebnis:

f'(x) = 24x · sin(4x²)


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