CHECK: Additionstheoreme I

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1. Welcher Term enstpricht dem Ausdruck sin(α + β)?

Das Additionstheorem für Sinus lautet: sin(α + β) = sin(α)·cos(β) + cos(α)·sin(β)

2. Welcher Term enstpricht dem Ausdruck cos(α + β)?

Das Additionstheorem für Kosinus lautet: cos(α + β) = cos(α)·cos(β) – sin(α)·sin(β)

3. Welcher Term steht auch für den Ausdruck sin(2α)?

Hier ist das Additionstheorem für sin(α + β) anzuwenden:

sin(2α) = sin(α + α)
= sin(α) · cos(α) + cos(α) · sin(α)
= 2 · sin(α) · cos(α)

4. Welcher Term steht auch für den Ausdruck cos(2α)?

Additionstheorem für cos(α + β) anwenden:

cos(2α) = cos(α + α) = cos(α) · cos(α) - sin(α) · sin(α) = cos²(α) - sin²(α)

Mit cos²(α) + sin²(α) = 1 folgt cos(2α) = cos²(α) - (1 - cos²(α)).

cos(2α) = 2 · cos²(α) - 1

5. Vereinfache sin²(α)·cos(α) + cos³(α) mit Hilfe von Additionstheoremen.

= sin²(α) · cos(α) + cos³(α)
= cos(α) · (sin²(α) +cos²(α))
= cos(α) · (sin(α) · sin(α) + cos(α) · cos(α))

Der Term sin(α)·sin(α) + cos(α)·cos(α) ist gemäß dem Additionstheorem gleich cos(α-α).

Daraus folgt:

cos(α) · cos(α-α)
= cos(α) · cos(0)
= cos(α) · 1
= cos(α)


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