CHECK: Biquadratische Gleichungen I

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Wie viele Lösungen kann maximal eine biquadratische Gleichung haben?

Allgemein für eine biquadratische Gleichung gilt: a·x4 + b·x2 + c = 0. Der höchste Exponent bei der aufzulösenden Variabel z gibt die Anzahl der Lösungen wider.

Wann liegt eine biquadratische Gleichung vor?

Allgemeine Form der biquadratischen Gleichung:

$$ ax^4 + bx^2 + c = 0 $$ Wobei a ungleich 0 ist.

Welche der aufgeführten Gleichungen ist eine biquadratische Gleichung?

Allgemeine Form einer biquadratischen Gleichung: \( ax^4 +bx^2 + c = 0 \) für a ≠ 0

Wie viele Lösungen hat die Gleichung x4 - 4x2 + 4 = 0?

$$ x^4 - 4x^2 +4 = 0 $$

Substitution \( z = x^2 \)

$$ z^2 - 4z + 4 =0$$

Quadratische Gleichung lösen:

$$ z_{1,2} = 2 ± \sqrt{4-4} \\ z_{1} = z_2 = 2 $$

Resubstitution:

$$ x^2 = z = 2 \\ x_{1,2} = ± \sqrt{2} $$

Also zwei Lösungen.

Bestimme die Lösungen der Gleichung \( 2·x^4 - 8·x^2 - 24 = 0 \).

$$ 2x^4-8x^2-24 = 0 ⇔ x^4-4x^2-12=0 $$

Substitution z = x2

$$ z^2-4z-12=0 $$

Lösen mit p-q-Formel ergibt

$$ z_1 = 6 \text{ und } z_2 =-2 $$

Resubstituion:

$$ x_{1,2} = ±\sqrt{z_1}= ±\sqrt{6} \\ x_{3,4} = ±\sqrt{z_2}= ±\sqrt{-2} $$

⇒ keine reelle Lösung

Lösungsmenge: \( L = \{-\sqrt{6},\sqrt{6}\} \)


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