CHECK: Biquadratische Gleichungen III
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Bestimme die Lösungen der Gleichung \( \frac{2·x^2}{x^2 - 1} = \frac{x^2 + 1}{2} \).
$$ \frac {2x^2} {x^2-1} = \frac {x^2+1} {2} ⇔ 2·(2x^2) = (x^2+1)(x^2-1)$$
Rechte Seite: 3. binomische Formel
$$ 2(2x^2) = x^4 -1 ⇒x^4 -4x^2-1=0 $$
$$ \text{Substitution: } z = x^2 $$
$$ z^2 -4z-1=0 $$
$$ z_{1,2}= 2\pm\sqrt{4+1}=2\pm\sqrt{5} $$
$$ z_1 = 2+\sqrt5 > 0 $$
$$ z_2 = 2-\sqrt5 < 0 $$
Rücksubsitution für z1
$$ x_{1,2}= \pm(2+\sqrt{5}) $$
Rücksubsitution für z2 geht nicht, da aus einer negativen Zahl im reellen Bereich keine Wurzel gezogen werden darf.
Löse die biquadratische Gleichung: \( x^4 - 11x^2 + 18 = 0 \)
x4 - 11x2 + 18 = 0
z = x2
z2 - 11z + 18 = 0 | p-q-Formel
z1 = 9
z2 = 2
Resubstitution:
z1 = x2
9=x2
x = ±3
z2 = x2
2 = x2
x= ±√2
Also sind die Lösungen der biquadratischen Gleichung:
x1= 3
x2= -3
x3= √2
x4= -√2
Löse die biquadratische Gleichung: 2x4 - 3x2 - 20 = 0
2x4 - 3 x 2 - 20 = 0 |:2
x4 - 1,5 x 2 - 10 = 0
Substituiere: z = x²
z² - 1,5 z = 10 | p-q-Formel
z = - 2,5 oder z = 4
Rücksubstitution:
x² = -2,5 → keine reellwertige Lösung
x² = 4 → x = 2 oder x = -2
Die Lösungen der gegebenen Gleichung sind also x1 = -2 und x2 = 2
Welche Methode wird vorrangig zur Lösung von biquadratischen Gleichungen verwendet?
Wir setzen das Substitutionsverfahren ein.
Was ist das Standardvorgehen bei quartischen Gleichungen der Form \( a·x^4 + c·x^2 = 0 \)?
$$ a·x^4 + c·x^2 = 0 \\ a·x^2·x^2 + c·x^2 = 0 \\ x^2·(a·x^2 + c) = 0 $$
Das kann man jetzt faktorweise anschauen. Die Klammer wird dabei über Wurzelziehen gelöst.
Fortschritt: