CHECK: Biquadratische Gleichungen IV

Finde die Lösungen der Gleichung: $ 300+x^2·(x^2 - 102,25) = 75 $

$ x_{1,2} = ±2,5 \qquad x_{3,4} = ±10 $

$ x_{1,2} = ±\sqrt{2,5} $

$ x_{1,2} = ±\sqrt{2,5} \qquad x_{3,4} = 10 $

Keine der genannten Lösungen

300 + x²(x²-102,25) = 75

300 + x⁴ - 102,25x² = 75 |-75

x⁴-102,25x²+225=0

z = x²

z²-102,25z+225=0

z₁= 100

z₂= 9/4

z₁ = x²

100 = x²

x_1,2 = ±10

z₂ = x²

9/4 = x²

x_3,4 = ±1,5

Also sind die Lösungsmengen oder die Nullstellen der Funktion

x_1,2 = ±10

x_3,4 = ±1.5

Gibt es eine Lösungsformel für quartische Gleichungen?

Ja, die gibt es.

Nein, es gibt keine Lösungsformel für quartische Gleichungen.

Löse die biquadratische Gleichung: 36x⁴ - 25x² + 4 = 0

$ x_{1,2} = ±\frac{2}{3} \qquad x_{3,4} = ±\frac{1}{2} $

$ x_{1,2} = ±\frac{1}{2} \qquad x_{3,4} = ±1 $

$ x_{1,2} = ±1 \qquad x_{3,4} = ±\frac{4}{3} $

Keine der genannten Lösungen

36 x⁴ - 25 x² + 4 = 0 | : 36

x⁴ - 25/36 x² + 1/9 = 0

z = x²

z² - 25/36 z + 1/9 = 0 |p-q-Formel

z = 4/9 oder z= 1/4

x² = 4/9 oder x² = 1/4

x₁ = 2/3 oder x₂ = -2/3 oder x₃ = 1/2 oder x₄ = -1/2

Wie viele Lösungen hat die quartische Gleichung: $ (x^2 + 2)·(x^2 + 4) = 0 $

0

1

2

3

4

Man kann versuchen das ganze faktorweise zu lösen. Man stellt fest, dass für beide Faktoren keine Nullstellen gefunden werden können.

Der Funktionsgraph sieht so aus:

~plot~ (x^2+2)*(x^2+4);[[-20|20|-10|50]];hide ~plot~

Wie viel reelle Lösungen hat die quartische Gleichung: $ x^4 - 16 = 0 $

0

1

2

3

4

$$ x^4 - 16 = (x^2+4)·(x^2-4) $$

Dank der dritten binomischen Formel ergibt sich obiges. Nun Faktorweise anschauen. Erster Faktor ergibt keine reelle Nullstelle. Letzterer ergibt zwei Nullstellen.

Schauen wir uns noch den Funktionsgraphen an von f(x) = x^4-16 und dessen Nullstellen:

~plot~ x^4-16;[[-20|20|-30|30]];hide ~plot~