CHECK: Biquadratische Gleichungen II

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Bestimme alle Werte des Parameters a derart, dass die gegebene Gleichung nur zwei reelle Lösungen besitzt.

$$ x^4+(4a+1)x^2+\frac 14=0$$

Substitution z = x2

$$ z^2+(4a+1)z+\frac 14=0$$

Lösen mit p-q-Formel

$$ z_{1,2} = -\frac {(4a+1)}2 ± \sqrt { \frac {(4a+1)^2}4 -\frac 14 }$$

Wenn zwei reelle Lösungen für a verlangt werden, muss der Radikant Null gesetzt werden:

$$ \frac {(4a+1)^2}4 -\frac 14 = 0 $$

$$ 16a^2+8a = 8a(2a+1)=0 $$

$$ ⇒ a_1 = 0 \space und \space a_2 = -\frac{1}{2} $$

Unter welcher Bedingung hat eine biquadratische Gleichung \( a·x^4 + b·x^2 + c = 0 \) für a ≠ 0 und x ∈ ℝ keine Lösung?

Da die substituierte Variable (z = x2) selbst über Lösungsmethoden von quadratischen Gleichungen ermittelt wird, darf der Ausdruck unter der Wurzel (Diskriminante) nicht negativ sein.

Gib für die Gleichung \( x^4 = 3x^2 \) alle Lösungen an.

$$ x^4 = 3x^2 ⇔x^4 - 3x^2 = 0$$

$$ x^2(x^2-3)=0$$

$$ ⇒x^2 = 0 \space bzw. \space x^2-3 = 0$$

$$ x^2 = 0 ⇒ x_{1,2} = \pm 0$$

$$ x^2-3 = 0 ⇒ x_{3,4} = \pm \sqrt{3} $$

Wie viele reelle Lösungen hat die Gleichung \( x^4 = \frac{1}{3}·(x^2 - 21) \)?

$$ x^4 = \frac 13 (x^2-21) ⇔ x^4 -\frac {x^2} {3}+21 =0$$

$$ z = x^2 ⇒z^2 -\frac z3+21 =0$$

$$ z_{1,2} = \frac 16 \pm \sqrt {\frac {1} {36} -21} $$

Da der Ausdruck unter der Wurzel negativ ist, liegen keine reellen Lösungen vor.

Finde die reellen Lösungen der Gleichung \( x^3 - \frac{7}{4x} = 3x \).

$$ x^3 - \frac {7} {4x} = 3x ⇔ x^4 - \frac{7}{4} -3x^2 = 0 $$

$$ z = x^2 ⇒ z^2 - 3z- \frac{7}{4} = 0 $$

$$ z_{1,2} = \frac 32 \pm \sqrt{\frac 94 + \frac 74} = \frac 32 \pm\sqrt{\frac{16} {4}} = \frac{3}{2} \pm\frac{4}{2} $$

$$ z_1 = \frac 72 \space und \space z_2 = -\frac 12$$

Rücksubstitution:

$$ x^2 = \frac{7}{2} ⇒ x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{7}{2}} $$ und $$ x^2 = -\frac{1}{2} ⇒ \text{ keine reelle Lösung (negativer Ausdruck unter der Wurzel)} $$


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