CHECK: Bruchgleichungen II

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1. Bestimme die Werte für x, die die Gleichung lösen: \( \frac { 5x + 8 }{ x } = 9 \)

\( \frac { 5x + 8 }{ x } = 9 \quad |·x \\ \frac { 5x + 8 }{ x } ·x = 9 ·x \\ 5x + 8 = 9x \quad |-5x \\ 8 = 9x - 5x \\ 8 = 4x \quad |:4 \\ 8:4 = x \\ x = 2 \)

2. Löse die Bruchgleichung \( \frac {2x-2} {x} = \frac {4x-4} {x} \) nach x auf.

\( \frac {2x-2} {x} = \frac {4x-4} {x} \quad |·x \\ 2x-2 = 4x-4 \quad |+4 \\ 2x+2 = 4x \quad |-2x \\ 2 = 2x \quad |:2 \\ x = 1 \)

3. Gib die Lösungsmenge der Bruchgleichung an: \( \frac{7}{12x-24} = \frac{1}{4x-8} + \frac{x}{3x-6} \)

Der Hauptnenner ist \( 12x-24 \). Diesen stellen wir bei den anderen beiden Brüchen mit Erweitern her:

\( \frac{7}{12x-24} = \frac{1}{4x-8} + \frac{x}{3x-6} \\ \frac{7}{12x-24} = \frac{ 1 \color{#00F}{·3} }{(4x-8) \color{#00F}{·3} } + \frac{x \color{#00F}{·4} }{(3x-6) \color{#00F}{·4} } \\ \frac{7}{12x-24} = \frac{3}{12x-24} + \frac{4·x}{12x-24} \)

Jetzt multiplizieren wir die Gleichung mit \( (12x-24) \) und kürzen dann (beseitigen die Nenner):

\( \frac{7}{12x-24} = \frac{3}{12x-24} + \frac{4·x}{12x-24} \quad |·(12x-24) \\ \frac{7 ·(12x-24)}{12x-24} = \frac{3 ·(12x-24)}{12x-24} + \frac{4x ·(12x-24)}{12x-24} \\ 7 = 3 + 4x \\ 4x = 4 \\ x = 1 \)

Folglich ist \( L=\{1\} \)

4. Ein Bruch hat den Wert \( \frac{7}{8} \). Welche Zahl muss man vom Zähler subtrahieren und zum Nenner hinzuaddieren, damit als Ergebnis \( \frac{3}{4} \) herauskommt? Stelle eine Bruchgleichung auf und löse diese.

\( \frac {7-x} {8+x}=\frac{3}{4} \quad |·(8+x) \\ \frac {(7-x)·(8+x)} {8+x}=\frac{3·(8+x)}{4} \\ 7 - x = \frac{3·8+3·x}{4} \quad |·4 \\ 4·(7-x) = 3·8 + 3·x \\ 28 - 4x = 24 + 3x \\ -7x = -4 \\ x= \frac{4}{7} \)

5. Ein Bruch hat den Wert von \( \frac{2}{3} \). Welche Zahl muss man zum Zähler hinzuaddieren und vom Nenner subtrahieren, damit als Ergebnis \( \frac{1}{2} \) herauskommt? Stelle eine Bruchgleichung auf und löse diese.

\( \frac{2+x}{3-x} = \frac{1}{2} \quad |·(3-x) \\ \frac{ (2+x) ·(3-x) }{3-x} = \frac{1·(3-x)}{2} \\ 2+x = \frac{3-x}{2} \quad |·2 \\ 2·(2+x) = 3-x \\ 4 + 2x = 3-x \\ 4 + 2x + x = 3 \\ 2x + x = 3-4 \\ 3x = -1 \\ x = -\frac{1}{3} \)


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