Lerncheck: Bruchgleichungen III (schwierig)

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1. Löse die Bruchgleichung: \( \frac{11}{4x} = \frac{2}{2x+2} + \frac{2}{2x-3} \)

Man beginnt mit der Suche nach einem gemeinsamen Nenner.

(4x)(2x+2)(2x-3) wäre die offenkundigste Wahl. Der Hauptnenner wäre allerdings (4x)(x+1)(2x-3), denn 2x+2=2(x+1).

Mit dem Nenner multipliziert (mal mit dem offenkundigen):

11·(2x+2)(2x-3)=2(2x-3)4x+2(2x+2)4x

Zusammenfassen:

44x2-22x-66=32x2-8x

Alles auf eine Seite:

12x2-14x-66=0

p-q-Formel bzw. abc-Formel

x1=3 und x2=-11/6

Achtung: Bei der p-q-Formel muss vorher durch 12 dividiert werden!

2. Finde die Lösungen der Bruchgleichung: \( \frac{10}{2x+3} - \frac{15}{6x+9} = \frac{x^2+24}{4x^2+12x+9} \)

Das erste, was man machen sollte (nach bestimmen der Definitionsmenge, die hier nicht gefragt ist), ist den Hauptnenner suchen.

Dazu zerlegen wir die Nenner in ihre Faktoren:

1. (2x+3)=(2x+3)
2. (6x+9)=3(2x+3)
3. (4x²+12x+9)=(2x+3)² (binomische Formel erkennen hilft hier)

Hauptnenner ist also 3·(2x+3)²

(10·(2x+3)·3)-(15·(2x+3))=3x²+72   (bereits mit Hauptnenner multipliziert)

60x+90-30x-45=3x²+72 |-72-3x² und zusammenfassen

30x-27-3x²=0   | abc-Formel (oder p-q-Formel, dann aber vorher mit -3 dividieren)

x1=1 und x2=9

3. Berechne die Bruchgleichung: \( \frac{3x+4}{3} + \frac{18}{2-3x} = 2 \)

(3x+4)/3 +18/(2-3x) = 2

Hauptnenner ist (2-3x)·3

Mit diesem direkt multiplizieren:

(3x+4)(2-3x) + 18·3 = 6·(2-3x)

-9x2+12x+50 = 0 |:9, dann p-q-Formel

x1 = 2/3-√6 ≈ -1,783 und x2 = 2/3+√6 ≈ 3,116

4. Wie lange dauert es, bis das Schwimmbecken trotzdem voll ist?

Ein Schwimmbecken kann durch die Zuflussleitung in 15 Stunden gefüllt werden. Ist das Becken voll, so dauert es 20 Stunden, um das Wasser wieder ablaufen zu lassen. Das Becken ist leer. Die Besitzerin will es füllen, vergisst jedoch, den Ablauf zu schließen. Wie lange dauert es, bis das Schwimmbecken trotzdem voll ist?

Man nehme sich eine Variable, diese sei x. Sie bezeichne die resultierende Füllung (also die Differenz aus Zu- und Abfluss). Nun die Gleichung aufstellen.

Vorarbeit: Pro Stunde werden 1/15 des Gesamtvolumens hinzugelassen. Pro Stunde werden 1/20 des Gesamtvolumens abgelassen.

Der Ablass wird durch das negative Vorzeichen verdeutlicht. Zusammen haben wir eine Zunahme des Wassers im Becken von 1/x (je Stunde). Es ergibt sich also folgende Gleichung:

1/x = 1/15 - 1/20

Verrechnen wir die rechte Seite und bilden den Kehrwert.

1/x = 4/60 - 3/60
1/x = 1/60 | Kehrwert
x = 60

Das Becken hat unter den gegebenen Bedingungen also eine Fülldauer von 60 Stunden.

5. Löse die Bruchgleichung: \( \frac{x+3}{x} - \frac{15}{x^2+3x} = -\frac{2x+1}{x+3} \)

\( \frac{ x+3 }{ x } - \frac{ 15 }{ x^2+3x } = - \frac{2x+1}{x+3} \)

Beim zweiten Nenner kannst du zu x(x+3) faktorisieren. → Das ist auch der Hauptnenner. Mit diesem multipliziert ergibt:

(x+3)(x+3)-15 = -(2x+1)·x

x²+6x+9-15 = -2x²-x |+2x²+x

3x²+7x-6 = 0

Mit Hilfe der p-q-Formel oder abc-Formel lassen sich die Lösungen bestimmen:

x1=-3 und x2= \( \frac{2}{3} \)

Da der Nenner aus x und (x+3) besteht, liegt die Lösung x1=-3 nicht im Definitionsbereich und ist keine Lösung.
(Durch 0 darf ja nicht geteilt werden!)

Die Lösung obiger Bruchgleichung ist also allein x = \( \frac{2}{3} \).


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