Lerncheck: Bruchgleichungen IV (schwierig)

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1. Welcher Wert gehört zur Lösung der Bruchgleichung \( \frac{x-5}{x} + \frac{2x}{x^2} = 0 \)?

\( \frac{x-5}{x} + \frac{2x}{x^2} = 0 \quad |·x^2 \\ \frac{x-5}{x}·x^2 + \frac{2x}{x^2}·x^2 = 0·x^2 \\ (x-5)·x + 2x = 0 \\ x^2 - 5·x + 2x = 0 \\ x^2 - 3·x = 0 \)

Satz vom Nullprodukt anwenden und Lösungen bestimmen:

\( x^2 - 3·x = 0 \\ x·(x - 3) = 0 \\ x_1 = 0 \\ x_2 - 3 = 0 \\ x_2 = 3 \)

Die \( x_1 = 0 \) gehört nicht zur Definitionsmenge, da es sonst eine Division durch Null geben würde.

Einzige Lösung: \( x = 3 \)

2. Löse die Bruchgleichung \( \frac{3x-5}{x-1} - \frac{2x-5}{x-2} = 1 \)

\( \frac{ 3x-5 }{ x-1 } - \frac{ 2x-5 }{ x-2 } = 1 \quad |·(x-1)(x-2) \\ (3x-5)·(x-2) - (2x-5)·(x-1) = (x-1)·(x-2) \\ x^2-4x+5 = x^2-3x+2 \qquad |-x^2+4x-2 \\ x = 3 \)

Damit also keine der genannte Lösungen.

3. Gib den Hauptnenner der Bruchgleichung an: \( 7x + \frac{3x}{x-4} + \frac{x}{x^2-9} = 0 \)

Wir können den Nenner des zweiten Bruches mit der 3. binomischen Formel umformen:

\( (x^2-9) = (x+3)·(x-3) \)

Dann den Hauptnenner bilden:

\( (x-4)·(x+3)·(x-3) \)

4. Gib den Hauptnenner der Bruchgleichung an: \( \frac{6}{x+2} - \frac{1-2x}{x-2} + \frac{6x}{2x^2-8} = 0 \)

Die Nenner aufgeschrieben und faktorisiert:

x+2 = x+2

x-2 = x-2

2·x²-8 = 2·(x²-4) = 2·(x-2)·(x+2)

Hauptnenner: \( 2·(x-2)(x+2) \)

5. Löse die Bruchgleichung: \( \frac{6}{x+2} - \frac{1-2x}{x-2} + \frac{6x}{2x^2-8} = 0 \)

kgV und Hauptnenner ist: \( 2·(x-2)(x+2) \)

Damit multiplizieren wir gleich:

\( 6·(x-2)·2 - (1-2x)·(x+2)·2 +6x = 0 \)

Vereinfachen/auflösen:

\( 4x^2+24x-28 = 0 \)

p-q-Formel (vorher durch 4 dividieren, oder direkt abc-Formel verwenden):

\( x_1 = -7 \) und \( x_2 = 1 \)


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