CHECK: Exponentialfunktionen I

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1. Wähle die Funktion aus, die eine Exponentialfunktion darstellt.

Exponentialfunktionen haben die Form \( f(x) = b \cdot a^x \).

2. Der dargestellte Graph gehört zu einer Funktion vom Typ \( f(x) = a^x \). Welche Aussage trifft für \( a \) zu?

exponentialfunktion graph

Ist der Wert der Basis a zwischen 0 und 1, dann verläuft der Graph fallend wie in der Grafik.

Ein Beispiel sei f(x) = 0,5x

~plot~ 0.5^x ~plot~

3. Bestimme die Gleichung der Exponentialfunktion \( f(x) = a^x \), die durch den Punkt \( P(6|64) \) verläuft.

Durch Einsetzen von x- und y-Wert des Punktes in die allgemeine Funktionsgleichung erhalten wir:

\( y = a^x \quad | x=6; y=64 \\ 64 = a^6 \quad | \sqrt[6]{} \\ \sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{a^6} \\ a = \sqrt [6] {64} \\ a = 2 \\ \rightarrow f(x) = 2^x \)

Hinweis: Wir hätten eigentlich \( \pm \sqrt[6]{64} \) rechnen müssen, jedoch ist das negative a = -2 per Definition für die Basis der Exponentialfunktion (muss positiv sein) ausgeschlossen.

4. Bestimme die Gleichung der Exponentialfunktion \( f(x) = b·a^x \), die durch die Punkte \( P_1(1|1) \) und \( P_2(2|2) \) verläuft.

Das Einsetzen der beiden Punkte (deren x- und y-Werte) in die Funktionsgleichungen ergibt:

\( I: f(x) = b · a^1 = 1 \\ II: f(x) = b · a^2 = 2 \)

Aus I. folgt:
\( b = \frac{1}{a} \)

\( b = \frac{1}{a} \) in II. eingesetzt:
\( b · a^2 = 2 \\ \frac{1}{a} · a^2 = 2 \\ a = 2 \\ ⇒ b = \frac{1}{2} \)

Zusammengefasst:
\( f(x) = \frac{1}{2} · 2^x \)

5. Wie viele Nullstellen hat die Funktion \( f(x) = 2^x - 1 \)?

Berechnung:
f(x) = 2x - 1 = 0
2x = 1

Die Lösung ist x = 0. Unser x muss 0 sein, damit 1 herauskommt. Vergleiche Potenzgesetze.

Wir haben also eine Nullstelle.

~plot~ 2^x-1 ~plot~


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