CHECK: Exponentialgleichungen I

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1. Löse die Exponentialgleichung \( 2^{x^2-1} = 2 \)

2x^2-1 = 2

Vergleiche die Exponenten, beachte, dass 2 = 21

x2-1 = 1

x2 = 2

x = ±√2

2. Löse die Exponentialgleichung \( e^{2x²-8x+8} = 1 \)

e ist die Eulersche Zahl 2,718...

e2x²-8x+8 = e0, denn e0 = 1

Vergleiche die Exponenten.

2x2-8x+8 = 0 |:2, dann p-q-Formel oder binomische Formel erkennen

x1,2 = 2

3. Löse die Exponentialgleichung \( e^{2x^3+x^2+12x} = e^{x^3-15x^2-76x} \)

Es liegt die gleiche Basis vor, aber unterschiedliche Exponenten. Damit darf man direkt die Exponenten anschauen, denn diese müssen sich gleichen!

Direkt also die Exponenten verglichen:

2x3+x2+12x = x3-15x2-76x |-x3+15x2+76x

x3+16x2+88x = 0 | x ausklammern

x(x2+16x+88) = 0 | Faktorweise anschauen

x1 = 0

x2+16x+88 = 0 → keine weiteren reellen Nullstellen (mittels p-q-Formel).

4. Wenn bei einer Exponentialgleichung die gleiche Basis vorliegt, was darf dann getan werden?

Die Exponentialgleichung habe beispielsweise die Form: ca(x) = cb(x) und damit die gleiche Basis c.

ca(x) = cb(x) |log

log(ca(x)) = log(cb(x))

a(x)·log(c) = b(x)·log(c) |:log(c)

a(x) = b(x)

(Hinweis: Es ist irrelevant, welche Basis der Logarithmus besitzt)


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