CHECK: Exponentialgleichungen I

Löse die Exponentialgleichung \( 2^{x^2-1} = 2 \).

x = 2

x = √2

x = -√2

x_1,2 = ±√2

\( 2^{x^2 - 1} = 2 \)

Vergleiche die Exponenten. Beachte, dass 2 = 2¹

\( 2^{ \textcolor{#00F}{x^2 - 1} } = 2^\textcolor{#00F}{1} \)

\( \textcolor{#00F}{x^2 - 1} = \textcolor{#00F}{1} \)

\( x^2 = 2 \qquad |\sqrt{} \)

\( x_1 = \sqrt{2} \) und \( x_2 = -\sqrt{2} \)

Löse die Exponentialgleichung \( e^{2x²-8x+8} = 1 \).

e ist die Eulersche Zahl 2,71828…

x = 1

x_1,2 = 0

x_1,2 = 2

x_1,2 = ±2

e^2x²-8x+8 = 1 | 1 = e⁰

e^2x²-8x+8 = e⁰

Vergleiche die Exponenten.

2x²-8x+8 = 0 |:2

Dann mit p-q-Formel lösen oder binomische Formel erkennen und dann Lösungen ablesen:

x_1,2 = 2

Löse die Exponentialgleichung \( e^{2x^3+x^2+12x} = e^{x^3-15x^2-76x} \)

x = 0

x₁ = 0 und x_2,3 = ±2

x₁ = 0 und x_2,3 = ±√2

x₁ = 0 und x_2,3 = 2

Es liegt die gleiche Basis vor, aber unterschiedliche Exponenten. Damit darf man direkt die Exponenten anschauen, denn diese müssen sich gleichen!

Direkt also die Exponenten verglichen:

2x³+x²+12x = x³-15x²-76x |-x³+15x²+76x

x³+16x²+88x = 0 | x ausklammern

x(x²+16x+88) = 0 | Faktorweise anschauen

x₁ = 0

x²+16x+88 = 0 → keine weiteren reellen Nullstellen (mittels p-q-Formel).

Wenn bei einer Exponentialgleichung die gleiche Basis vorliegt, was darf dann getan werden?

Die Exponentialgleichung habe beispielsweise die Form: c^a(x) = c^b(x) und damit die gleiche Basis c.

Das Ergebnis kann direkt abgelesen werden. Es ist x₁ = a und x₂ = b

Das Ergebnis kann direkt abgelesen werden. Es ist x_1,2 = c

Man kann einen Exponentenvergleich durchführen, also a(x) = b(x)

Keine der gegebenen Antwortmöglichkeiten macht Sinn.

c^a(x) = c^b(x)|log

log(c^a(x)) = log(c^b(x))

a(x)·log(c) = b(x)·log(c) |:log(c)

a(x) = b(x)

(Hinweis: Es ist irrelevant, welche Basis der Logarithmus besitzt.)