CHECK: Exponentialgleichungen II

1 Löse die Exponentialgleichung \(3·2^{x+3} = 64·3^{x-2}\)

x = 0

x = 1

x = 3

x = 5

3·2^x+3 = 64·3^x-2 |:3 :2⁶ (=64)
2^x-3 = 3^x-3

Man sieht die Lösung nun schon direkt: Der Exponent ist gleich, die Basis unterschiedlich, also muss der Exponent 0 sein.

Oder Logarithmus ziehen:

(x-3)·ln(2) = (x-3)·ln(3)

Spätestens nun sieht man die Lösung: x = 3

2 Löse die Exponentialgleichung \(8·9^{x-3} + 4^{x-3} = 3^{2x-4}\)

x = 0

x = 3

x = √3

Ist algebraisch nicht lösbar. Man benötigt ein Näherungsverfahren

8·9^x-3 + 4^x-3 = 3^2x-4
8·9^x-3 + 4^x-3 = 9^x-2 | :9^x-3
8+(\( \frac{4}{9} \))^x-3 = 9^x-2/9^x-3
8+(\( \frac{4}{9} \))^x-3 = 9 | -8
\( \left( \frac{4}{9} \right)^{x-3} \) = 1

1 kann rechts nur herauskommen, wenn der Exponent beim Linksterm 0 wird, also Exponentenvergleich:

x - 3 = 0
x = 3

3 Löse die Exponentialgleichung \( 7^x·5^{-x}-3^{1-x} = 0 \)

\( x = \frac{\ln(3)}{\ln(\frac{21}{5})} \)

\( x = \frac{\ln(3)}{\ln(21)} \)

\( x = \frac{\ln(\frac{21}{5})}{\ln(3)} \)

\( x = \frac{\ln(21)}{\ln(3)} \)

7^x·5^-x-3^1-x = 0 | +3^1-x
(7/5)^x = 3/3^x |·3^x
(21/5)^x = 3 |ln
x·ln(21/5) = ln(3)
x = ln(3)/ln(21/5)
x ≈ 0,766

4 Löse die Exponentialgleichung \(2^{2x} = 16^{3x+1}\)

\( x = \frac{2}{5} \)

\( x = -\frac{2}{5} \)

\( ±\frac{2}{5} \)

Keine der gegebenen Antwortmöglichkeiten ist korrekt

2^2x = 16^3x+1 | 16 = 4²
4^x = (4²)^3x+1
4^x = 4^6x+2 | Exponenten vergleichen
x = 6x+2
5x = -2 |:5
x = -\( \frac{2}{5} \)

5 Löse die Exponentialgleichung \( 3·4^{x-3} + 5·7^{x-3} = 2^{2x-4} \)

\( \frac{ \ln(3) }{ \ln(5) } \)

\( x = \frac{\log(3)}{\log(5)} \)

\( x = \frac{\log(3)}{\ln(5)} \)

Keine der gegebenen Antwortmöglichkeiten ist korrekt

3·4^x-3 + 5·7^x-3 = 2^2x-4|4^x-3
3 + 5·7^x-3 / 4^x-3 = (2²)^x-2 / 4^x-3
| Zweiter Summand mit aⁿ/bⁿ = (a/b)ⁿ bearbeiten
3 + 5· (7/4)^x-3 = 4^x-2 / 4^x-3
| Rechts Potenzgesetz anwenden:
3 + 5·(7/4)^x-3 = 4^{x-2 - (x-3)}
3+5·(7/4)^x-3 = 4 |-3, dann :5
(7/4)^x-3 = 1/5 |log
(x-3)log(7/4) = log(1/5) |:log(7/4)
x-3 = log(1/5)/log(7/4) |+3
x = log(1/5)/log(7/4) + 3 ≈ 0,124