CHECK: Exponentialgleichungen II

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1. Löse die Exponentialgleichung \(3\cdot2^{x+3} = 64\cdot3^{x-2}\)

3·2x+3 = 64·3x-2 |:3 :26 (=64)

2x-3 = 3x-3

Man sieht die Lösung nun schon direkt: Der Exponent ist gleich, die Basis unterschiedlich, also muss der Exponent 0 sein.

Oder Logarithmus ziehen:

(x-3)ln(2) = (x-3)ln(3)

Spätestens nun sieht man es: x = 3

2. Löse die Exponentialgleichung \(8\cdot9^{x-3} + 4^{x-3} = 3^{2x-4}\)

8·9x-3 + 4x-3 = 32x-4

8·9x-3 + 4x-3 = 9x-2 | :9x-3

8+(\( \frac{4}{9} \))x-3 = 9x-2/9x-3

8+(\( \frac{4}{9} \))x-3 = 9 | -8

(\( \frac{4}{9} \))x-3=1

Das ist nur möglich, wenn der Exponent 0 ist:

x - 3 = 0

x = 3

3. Löse die Exponentialgleichung \(7^x\cdot5^{-x}-3^{1-x} = 0\)

7x·5-x-31-x=0 |+31-x

(7/5)x = 3/3x |·3x

(21/5)x = 3 |ln

x·ln(21/5) = ln(3)

x = ln(3)/ln(21/5) ≈ 0,766

4. Löse die Exponentialgleichung \(2^{2x} = 16^{3x+1}\)

22x = 163x+1 | 16 = 42

4x = (42)3x+1

4x = 46x+2 | Exponenten vergleichen

x = 6x+2

5x = -2 |:5

x = -2/5

5. Löse die Exponentialgleichung \( 3·4^{x-3} + 5·7^{x-3} = 2^{2x-4} \)

3·4x-3 + 5·7x-3 = 22x-4 |4x-3

3 + 5·7x-3 / 4x-3 = (22)x-2 / 4x-3 | Zweiter Summand mit an/bn = (a/b)n bearbeiten

3 + 5· (7/4)x-3 = 4x-2 / 4x-3 |Rechts Potenzgesetz

3 + 5·(7/4)x-3 = 4x-2 - (x-3)

3+5·(7/4)x-3 = 4 |-3, dann :5

(7/4)x-3 = 1/5 |log

(x-3)log(7/4) = log(1/5) |:log(7/4)

x-3 = log(1/5)/log(7/4) |+3

x = log(1/5)/log(7/4) + 3 ≈ 0,124


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