Lerncheck: Quader-Berechnungen (schwierig) I

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1. Nur eine Kantenlänge eines Quaders wird auf ein Drittel seiner ursprünglichen Länge reduziert. Wie ändert sich sein Volumen?

Volumen des ursprünglichen Quaders: $$ {V}_{alt} = a \cdot b \cdot c $$

Nun reduziert sich eine Seite auf 1/3 und man kann für das Volumen des neuen Quaders schreiben:

$$ {V}_{neu} = \frac {a} {3} \cdot b \cdot c $$ oder $$ {V}_{neu} = a \cdot \frac {b} {3} \cdot c $$ oder $$ {V}_{neu} = a \cdot b \cdot \frac {c} {3} $$

Den Faktor "1/3" kann man aus den obigen drei Gleichungen jeweils ausklammern und erhält

$$ {V}_{neu} = \frac {1} {3} \cdot a \cdot b \cdot c $$

und somit $$ {V}_{neu} = \frac {1} {3} \cdot {V}_{alt} $$

Das Volumen reduziert sich auf ein Drittel des ursprünglichen Volumens.

2. Ein Quader ist dreimal so lang wie hoch und doppelt so breit wie hoch. Seine Oberfläche ist 352 m² groß. Welches Volumen hat dieser Quader?

Sei die Höhe h = x, dann sind

Länge l = 3*x und Breite b = 2*x

Oberfläche des hier betrachteten Quaders:

$$ O = 2 \cdot (l \cdot b + l \cdot h + b \cdot h) $$

Einsetzen der obigen Terme für l, b und h ergibt

$$ 352 \space {m}^{2} = 2 \cdot (3x \cdot 2x + 3x \cdot x + 2x \cdot x) $$

$$ 352 \space {m}^{2} = 2 \cdot 11x^2 $$

$$ 352 \space {m}^{2} = 22x^2 $$

$$ x = 4 \space m $$

Das Volumen des hier betrachteten Quaders ist

$$ V = l \cdot b \cdot h $$

Einsetzen der obigen Terme für l, b und h ergibt

$$ V = 3x \cdot 2x \cdot x = 6x^3 $$

Mit x = 4 m folgt

$$ V = 6 \cdot 4^3 \space m^3 $$

$$ V = 384 \space m^3 $$

3. Berechne die Anzahl der Würfel, die aus dem vorgegebenen und anschließend bearbeiteten Quader enstehen.

wurfel in quader

Der vorliegende Quader mit quadratischem Querschnitt (20 cm x 20 cm) und einer Länge von 1 m wird in Höhe und Breite halbiert. Die Teile des Quaders werden so zersägt, dass Würfel entstehen. Wie viele Würfel erhält man aus dem ursprünglichen Quader ?

$$ {V}_{Quader} = Grundfläche \cdot Höhe $$

$$ {V}_{Quader} = (0,2 \space m \cdot 0,2 \space m) \cdot 1 \space m = 0,04 \space m^3 $$

Durch das Aussägen bekommt man Würfel mit der Kantenlänge a von 0,1 m

$$ {V}_{Würfel} = a^3 = (0,1 \space m)^3 = 0,001\space m^3 $$

$$ \text{Anzahl der Würfel} = \frac{ {V}_{Quader} }{ {V}_{Würfel} } = \frac {0,04 \space m^3} {0,001\space m^3} = 40 $$


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