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1
Nur eine Kantenlänge eines Quaders wird auf ein Drittel seiner ursprünglichen Länge reduziert. Wie ändert sich sein Volumen?
Volumen ist \( \frac{1}{3} \) des ursprünglichen Volumens.
Volumen ist \( \frac{1}{6} \) des ursprünglichen Volumens.
Volumen ist \( \frac{1}{9} \) des ursprünglichen Volumens.
Volumen ist \( \frac{1}{27} \) des ursprünglichen Volumens.
Volumen des ursprünglichen Quaders: $$ {V}_{alt} = a · b · c $$
Nun reduziert sich eine Seite auf 1/3 und man kann für das Volumen des neuen Quaders schreiben:
$$ {V}_{neu} = \frac {a} {3} · b · c $$ oder $$ {V}_{neu} = a · \frac {b} {3} · c $$ oder $$ {V}_{neu} = a · b · \frac {c} {3} $$
Den Faktor \( \frac{1}{3} \) kann man aus den obigen drei Gleichungen jeweils ausklammern und erhält
$$ {V}_{neu} = \frac {1} {3} · a · b · c $$
und somit $$ {V}_{neu} = \frac {1} {3} · {V}_{alt} $$
Das Volumen reduziert sich auf ein Drittel des ursprünglichen Volumens.
2
Ein Quader ist dreimal so lang wie hoch und doppelt so breit wie hoch. Seine Oberfläche ist 352 m² groß. Welches Volumen hat dieser Quader?
V = 384 m³
V = 348 m³
V = 483 m³
V = 438 m³
Sei die Höhe h = x , dann sind
Länge l = 3*x und Breite b = 2*x
Oberfläche des hier betrachteten Quaders:
$$ O = 2 · (l · b + l · h + b · h) $$
Einsetzen der obigen Terme für l, b und h ergibt
$$ 352 \space {m}^{2} = 2 · (3x · 2x + 3x · x + 2x · x) $$
$$ 352 \space {m}^{2} = 2 · 11x^2 $$
$$ 352 \space {m}^{2} = 22x^2 $$
$$ x = 4 \space m $$
Das Volumen des hier betrachteten Quaders ist
$$ V = l · b · h $$
Einsetzen der obigen Terme für l, b und h ergibt
$$ V = 3x · 2x · x = 6x^3 $$
Mit x = 4 m folgt
$$ V = 6 · 4^3 \space m^3 $$
$$ V = 384 \space m^3 $$
3
Berechne die Anzahl der Würfel, die aus dem vorgegebenen und anschließend bearbeiteten Quader enstehen.
Der vorliegende Quader mit quadratischem Querschnitt (20 cm x 20 cm) und einer Länge von 1 m wird in Höhe
und Breite halbiert. Die Teile des Quaders werden so zersägt, dass Würfel entstehen.
Wie viele Würfel erhält man aus dem ursprünglichen Quader?
20
40
80
10
$$ {V}_{Quader} = Grundfläche · Höhe $$
$$ {V}_{Quader} = (0,2 \space m · 0,2 \space m) · 1 \space m = 0,04 \space m^3 $$
Durch das Aussägen bekommt man Würfel mit der Kantenlänge a von 0,1 m
$$ {V}_{Würfel} = a^3 = (0,1 \space m)^3 = 0,001\space m^3 $$
$$ \text{Anzahl der Würfel} = \frac{ {V}_{Quader} }{ {V}_{Würfel} } = \frac {0,04 \space m^3} {0,001\space m^3} = 40 $$
