CHECK: Quadratische Gleichungen I

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1. Berechne x² + 5 = 9.

Tipp: Umstellen und Wurzel ziehen.

x² + 5 = 9 | -5

x² = 4 | ±√

x1,2 = ±√4

x1,2 = ±2

2. Welche ist die richtige Lösung der Gleichung (x+6)² + 36 - x = (x+1)(x-1) - 4?

Im Mathe-Unterricht wird die Gleichung (x+6)² + 36 - x = (x+1)(x-1) - 4 von den Schülern gelöst. Anne und Marko stellen ihre Lösungswege vor:

Anna:

x² + 36 + 36 - x = x² - 1 - 4
x² + 72 - x = x² - 5
x = 77

Marko:

x² + 12x + 36 + 36 - x = x² - 1 - 4
x² + 11x + 72 = x² - 5
x = -7

Wer hat richtig gerechnet?

x = -7 stimmt. Marko hat richtig gerechnet.

3. Voraussetzungen für: Das Doppelte des Produktes zweier Zahlen ist gleich der Hälfte des …

Unter welchen Voraussetzungen gilt folgender Zusammenhang:

Das Doppelte des Produktes zweier Zahlen ist gleich der Hälfte des Quadrates ihrer Summe vermindert um die Hälfte des Quadrates ihrer Differenz.

$$ 2xy=\frac{(x+y)^2}2- \frac{(x-y)^2}2 \quad |\cdot 2 \\ 4xy=(x+y)^2 - (x-y)^2 \\ 4xy = x^2+2xy+y^2 - (x^2-2xy+y^2) \\ 4xy=x^2+2xy+y^2 - x^2+2xy-y^2 \\ 4xy=x^2- x^2+2xy+2xy-y^2+y^2 \\ 4xy=0+2xy+2xy+0 \\ 4xy=4xy $$

keine Einschränkungen des Definitionsbereiches - Gleichung ist allgemeingültig - komplexe Zahlen mit negativem Betrag gibt es nicht.

4. Welche dieser Gleichungen hat keine reelle Lösung?

x² = -1 hat keine Lösung, weil das Quadrat einer reellen Zahl nie negativ ist.

5. Bestimme die Nullstelle der quadratischen Gleichung x² + 4·x + 2 = 0

Die Gleichung wird mit Hilfe der Lösungsformel (p-q-Formel) gelöst:

$$ {x}_{1,2}=-\left(\frac{p}{2}\right) \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q} $$

Dabei hat die Gleichung die Form:

0 = x² + p·x + q

Anwendung:

$$ {x}_{1,2} = -\left(\frac{p}{2}\right) \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q} \\ {x}_{1,2} = -\left(\frac{4}{2}\right) \pm \sqrt{ \left(\frac{4}{2}\right)^{2}-2} \\ {x}_{1,2} = -2 \pm \sqrt{ 2^{2}-2} \\ {x}_{1,2} = -2 \pm \sqrt{2} $$

x1 = -2 - √2

x2 = -2 + √2


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