Lerncheck: Sinus und Kosinus II

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1. Wie lautet die Formel für den Sinus?

\( \sin(α) = \frac{GK}{HY} \)

Das ist der Verhältniswert von Gegenkathete zu Hypotenuse. Er besagt, wie lang die Gegenkathete im Vergleich zur Hypotenuse ist.

Beispiel: sin(30°) = 0,5 heißt, dass die Gegenkathete 0,5 mal so lang ist wie die Hypotenuse.

\( \sin(30°) = \frac{GK}{HY} = 0,5 \rightarrow GK = 0,5·HY \)

2. Wie lautet die Formel für den Kosinus?

\( \cos(α) = \frac{AK}{HY} \)

Das ist der Verhältniswert von Ankathete zu Hypotenuse. Er besagt, wie lang die Ankathete im Vergleich zur Hypotenuse ist.

Beispiel: cos(60°) = 0,5 heißt, dass die Ankathete 0,5 mal so lang ist wie die Hypotenuse.

\( \cos(60°) = \frac{AK}{HY} = 0,5 \rightarrow AK = 0,5·HY \)

3. Wie lang ist die Seite a des rechtwinkligen Dreiecks?
Bekannt sind die Hypotenuse c = 7 cm und der Winkel α = 45°. Nutze die Sinusformel.

\( \sin(α) = \frac{GK}{HY} = \frac{a}{c} \\ \sin(α) = \frac{a}{c} \\ \sin(45°) = \frac{a}{7~cm} \quad |·7~cm \\ a = \sin(45°) · 7~cm \\ a ≈ 5~cm \)

4. Wie lang ist die Seite b des rechtwinkligen Dreiecks?
Bekannt sind die Hypotenuse c = 10 cm und der Winkel α = 45°. Nutze die Kosinusformel.

\( \cos(α) = \frac{AK}{HY} = \frac{b}{c} \\ \cos(α) = \frac{b}{c} \\ \cos(45°) = \frac{b}{10~cm} \quad |·10~cm \\ a = \cos(45°) · 10~cm \\ a ≈ 7,1~cm \)

5. Wie lang sind die Seiten a und b des rechtwinkligen Dreiecks?
Bekannt sind die Hypotenuse c = 20 cm und der Winkel β = 53°.

\( \cos(β) = \frac{a}{c} \\ a = c · \cos(β) \\ a = 20 · \cos(53°) \\ a ≈ 12 \text{ cm } \)

\( \sin(β) = \frac{b}{c} \\ b = c · \sin(β) \\ b = 20 · \sin(53°) \\ b ≈ 16 \text{ cm } \)


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