CHECK: Wurzeln (Grundlagen) IV

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1. Löse die verschachtelte Wurzel \( \sqrt{ \sqrt{x^4} } \) auf. Was ergibt sich?

\( \sqrt{ \sqrt{x^4} } \\ = \sqrt{x^4}^{ \frac{1}{2} } \\ = ( x^\frac{4}{2} )^{ \frac{1}{2} } \\ = x^\frac{4·1}{2·2} \\ = x^\frac{4}{4} \\ = x^1 \\ = x \)

2. Löse die verschachtelte Wurzel \( \sqrt[4]{ \sqrt[-5]{b^{-2}} } \) auf. Was ergibt sich?

\( \sqrt[4]{ \sqrt[-5]{b^{-2}} } = \sqrt[4·(-5)]{ b^{-2} } = \sqrt[-20]{b^{-2}} = b^{\frac{-2}{-20}} = b^{\frac{1}{10}} \)

3. Ziehe die teilweise Wurzeln aus der Zahl \( \sqrt{180} \) so weit wie möglich.

\( \sqrt{180} = \sqrt{2 · 2 · 3 · 3 · 5} = \sqrt{2^2 · 3^2 · 5} = \sqrt{2^2} · \sqrt{3^2} · \sqrt{5} = 2 · 3 · \sqrt{5} = 6·\sqrt{5} \)

4. Ziehe die teilweise Wurzeln aus der Zahl \( \sqrt{99} \) so weit wie möglich.

\( \sqrt{99} = \sqrt{3 · 3 · 11} = \sqrt{3^2 · 11} = \sqrt{3^2} · \sqrt{11} = 3 · \sqrt{11} \)

5. Ziehe die Wurzel aus dem Bruch \( \sqrt{ \frac{10000}{225} } \). Welche Lösung ergibt sich?

\( \sqrt{ \frac{1000}{225} } \\ = \frac{ \sqrt{10000} }{ \sqrt{225} } \\ = \frac{ 100 }{ 15 } \qquad | \text{ Kürzen } : 5 \\ = \frac{ 20 }{ 3 } \)


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