CHECK: Wurzelgleichungen I

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1. Bestimme die Lösung der Wurzelgleichung: \( \sqrt{9x - 17} = 1+3·\sqrt{x-4} \)

√(9 x-17) = 1+3·√(x-4) |²

(√(9 x-17))2 = (1+3·√(x-4))2 |Binomi auflösen

9 x-17=12+2·1·3·√(x-4) +(3·√(x-4))2

9x-17 = 1+6√(x-4) + 9(x-4) |-9x-1+36

18 = 6√(x-4) |²

324 = 36(x-4)

324 = 36x-144 |+144

468 = 36x |:36

x=13

2. Besimme die Lösung der Wurzelgleichung: \( \sqrt{x-3} - \sqrt{2·x - 8} = \sqrt{x-5} \)

√(x - 3) - √(2·x - 8) = √(x - 5) | ()2
(x - 3) - 2·√(x - 3)·√(2·x - 8) + (2·x - 8) = x - 5
- 2·√(x - 3)·√(2·x - 8) = x - 5 - (x - 3) - (2·x - 8)
- 2·√(x - 3)·√(2·x - 8) = x - 5 - x + 3 - 2·x + 8
- 2·√(x - 3)·√(2·x - 8) = - 2·x + 6
√(x - 3)·√(2·x - 8) = x - 3 | ()2
(x - 3) · (2·x - 8) = x2 - 6x + 9
2·x2 - 14·x + 24 = x2 - 6x + 9
x2 - 8x + 15 = 0

Lösen mit p-q-Formel gibt die Lösungen x = 5 ∨ x = 3.

Nun noch die Probe:

√(5 - 3) - √(2·5 - 8) = √(5 - 5) Stimmt
√(3 - 3) - √(2·3 - 8) = √(3 - 5)
Hier werden 2 Terme unter der Wurzel negativ.

Damit ist die einzige Lösung 5.

3. Löse die Wurzelgleichung: \( 12 = \sqrt{x-4} + \sqrt{x+20} \)

12 = √(x-4)+√(x+20) | ()²

144 = (x-4) + 2·√(x-4)√(x+20) + (x+20) |-(x-4)-(x+20)

-2x+128 = 2·√(x-4)√(x+20) |/2

-x+64 = √(x-4)√(x+20) | ()²

4096 - 2·64x + x2 = (x-4)(x+20)

4096 - 2·64x + x2 = x2+16x-80 |-x2+128x+80

4176 = 144 x

x = 29

4. Bestimme die Lösung der Wurzelgleichung: \( \sqrt{52+4x} + \sqrt{52-4x} = 12 \)

Quadrieren:

(√(52 + 4x) + √(52 - 4x))2 = 144

52 + 4x + 2 · √(52 + 4x) · √(52 - 4x) + 52 - 4x = 144

104+ 2 · √(52 + 4x) · √(52 - 4x) = 144 |-104

2 · √(52 + 4x) · √(52 - 4x) = 40 |:2

√(52 + 4x) · √(52 - 4x) = 20 |quadrieren

(52+4x)(52-4x)=400

2704-16x2 = 400 |-400+16x2

2304 = 16x2 |:16

x2=144

x1,2=±12

5. Bestimme die Lösung der Wurzelgleichung: \( \sqrt{2x+3} + 5 = 4 \)

√(2x + 3) +5 = 4 |-5
√(2x + 3) = -1

Eine Wurzel kann nicht negativ werden. Man ist hier also schon fertig.


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