CHECK: Wurzelgleichungen II
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Bestimme die Lösungsmenge der Wurzelgleichung: \( \sqrt{4x^2 - 6x} + 1 = 2x \)
√(4x2-6x)+1 = 2x
Quadrieren (auf der linken Seite müssen wir die binomische Formel anwenden):
(4x2-6x) + 2√(4x2-6x) + 1 = 4x2
Gleichung weiter umformen:
(4x2-6x) + 2√(4x2-6x) + 1 = 4x2 |-4x2+6x-1
2·√(4x2-6x) = +6x-1 |:2, dann quadrieren
4x2-6x = (3x-1/2)2
4x2-6x = 9x2 - 3x + 1/4 |-4x2+6x
5x2+3x+1/4 = 0 |:5, dann p-q-Formel
x1 = -1/2 und x2 = -1/10
Probe: Beide Lösungen erfüllen die Gleichung nicht, daher ist die Lösungsmenge leer.
Löse die Wurzelgleichung: \( \sqrt{x+3} + \sqrt{2x-8} = \frac{15}{\sqrt{x+3}} \)
√(x+3)+√(2x-8)=15/√(x+3)
(x+3)+√(2x-8)·√(x+3)=15
√(2x²-2x-24)=12-(x+3)
2x²-2x-24=(12-x)²
x²+22x-168=0 | p-q-Formel
x1 = -28 und x2 = 6
Probe ergibt, dass x1 = -28 keine Lösung sein kann. Also bleibt nur x = 6 übrig.
Bestimme die Lösung der Wurzelgleichung: \( \sqrt{3x+4} - 4 = \sqrt{5-4x} \)
√(3x+4) - 4 = √(5-4x) |quadrieren
3x+4 - 2·4·√(3x+4) + 16 = 5-4x
3x+20 - 8√(3x+4) = 5-4x |+4x-5 + 8√(3x+4)
7x+15 = 8√(3x+4) |quadrieren
49x2 + 2·7x·15 + 152 = 64(3x+4)
49x2+18x-31 = 0 |:49, dann p-q-Formel
x1 = -1
x2 = \( \frac{31}{49} \)
Probe mit diesen Lösungen. Klappt nicht.
Es gibt keine Lösung → L = { }
Bestimme die Lösung der Wurzelgleichung: \( \sqrt{13+x} = \sqrt{2x+12}-1 \)
Quadrieren:
13+x = (√(2x+12) -1)2 | 2. Binomische Formel
13+x = (2x+12) - 2·√(2x+12) + 1 | -2x-12-1
-x = -2√(2x+12) | :(-2)
x/2 = √(2x+12) | Quadrieren
x2/4 = 2x + 12 | ·4
x2 = 8x + 48 | -8a | - 48
x2 - 8x - 48 = 0
Jetzt p-q-Formel anwenden und wir erhalten:
x1 = -4
x2 = 12
Probe mit den Werten in der Ausgangsgleichung. Einzig x = 12 ist eine korrekte Lösung.
Bestimme die Lösungsmenge der Wurzelgleichung: \( \sqrt{9 + 8·\sqrt{2x-2}} = 5 \)
9 + 8√(2x-2) = 25
8√(2x-2) = 16
√(2x-2) = 2
2x - 2 = 4
2x = 6
x = 3
Fortschritt: