CHECK: Wurzelgleichungen II

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1. Bestimme die Lösungsmenge der Wurzelgleichung: \( \sqrt{4x^2 - 6x} + 1 = 2x \)

√(4x2-6x)+1 = 2x |quadrieren (binomische Formel links anwenden)

(4x2-6x) + 2√(4x2-6x) + 1 = 4x2 |-4x2+6x-1

2√(4x2-6x) = +6x-1 |:2, dann quadrieren

4x2-6x = (3x-1/2)2

4x2-6x = 9x2 - 3x + 1/4 |-4x2+6x

5x2+3x+1/4 = 0 |:5, dann p-q-Formel

x1 = -1/2 und x2 = -1/10

Probe: Beide Lösungen erfüllen die Gleichung nicht.

2. Löse die Wurzelgleichung: \( \sqrt{x+3} + \sqrt{2x-8} = \frac{15}{\sqrt{x+3}} \)

√(x+3)+√(2x-8)=15/√(x+3)

(x+3)+√(2x-8)·√(x+3)=15

√(2x²-2x-24)=12-(x+3)

2x²-2x-24=(12-x)²

x²+22x-168=0 |p-q-Formel

x1 = -28 und x2 = 6

Probe ergibt, dass x1 = -28 keine Lösung sein kann. Also bleibt nur x = 6 übrig.

3. Bestimme die Lösung der Wurzelgleichung: \( \sqrt{3x+4} - 4 = \sqrt{5-4x} \)

√(3x+4) - 4 = √(5-4x) |quadrieren

3x+4 - 2·4·√(3x+4) + 16 = 5-4x

3x+20 - 8√(3x+4) = 5-4x |+4x-5 + 8√(3x+4)

7x+15 = 8√(3x+4) |quadrieren

49x2 + 2·7x·15 + 152 = 64(3x+4)

49x2+18x-31 = 0 |:49, dann p-q-Formel

x1 = -1

x2 = \( \frac{31}{49} \)

Probe mit diesen Lösungen. Klappt nicht.

Es gibt keine Lösung → L = { }

4. Bestimme die Lösung der Wurzelgleichung: \( \sqrt{13+x} = \sqrt{2x+12}-1 \)

Quadrieren:

13+x = (√(2x+12) -1)2 | 2. Binomische Formel

13+x = (2x+12) - 2·√(2x+12) + 1 | -2x-12-1

-x = -2√(2x+12) | :(-2)

x/2 = √(2x+12) | Quadrieren

x2/4 = 2x + 12 | ·4 und alles nach links sortieren. Dann p-q-Formel

x1 = -4 und x2 = 12

Probe mit den Werten. Einzig x = 12 ist eine Lösung.

5. Bestimme die Lösungsmenge der Wurzelgleichung: \( \sqrt{9 + 8·\sqrt{2x-2}} = 5 \)

9 + 8√(2x-2) = 25

8√(2x-2) = 16

√(2x-2) = 2

2x - 2 = 4

2x = 6

x = 3


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