Test: Bruchgleichungen I

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1. Löse die Bruchgleichung \( \frac {3} {x-2} = \frac {9} {x+2} \) nach x auf.

$$ \frac {3} {x-2} = \frac {9} {x+2} $$

Beide Seiten mit (x + 2)·(x - 2) multiplizieren

$$ {3} \cdot (x+2) = {9} \cdot (x-2) $$

$$ {3} \cdot x+6 = {9} \cdot x - 18 $$

$$ {6} \cdot x = 24 $$

$$ x = 4 $$

2. Löse die Bruchgleichung \( \frac {(x -2)} {(x^2 - 4)} = - \frac {(x + 3)} {(x^2 - 9)} \) nach x auf. Tipp: Nutze die binomischen Formeln.

Gemäß 3. binomischer Formel gilt:

$$ (x^2 - 4) = (x + 2) \cdot (x - 2) $$

$$ (x^2 - 9) = (x + 3) \cdot (x - 3) $$

Unsere Bruchgleichung:

$$ \frac {(x -2)} {(x^2 - 4)} = - \frac {(x + 3)} {(x^2 - 9)} $$ Setzen wir die neuen Terme in die Bruchgleichung ein:

$$ \frac {(x - 2)} {(x + 2) \cdot (x - 2) }= - \frac {(x + 3)} {(x + 3)\cdot (x - 3)} $$

$$ \frac {1} {x + 2} = \frac {-1} {x - 3} $$

$$ x - 3 = -(x + 2) $$

$$ x - 3 = -x - 2 $$

$$ x = \frac 1 2 $$

3. Löse die Bruchgleichung \( \frac {x^2 - 16} {x + 4} = 6\cdot \frac {x - 1} {x^2 - 1} \) nach x auf. Tipp: Nutze die binomischen Formeln.

Laut 3. binomischer Formel gilt:

$$ x^2 - 16 = (x + 4) \cdot (x - 4) $$

$$ x^2 - 1 = (x + 1) \cdot (x - 1) $$

Daraus folgt für die Gleichung:

$$ (x + 4) \cdot \frac {x - 4} {x + 4} = 6 \cdot \frac {x - 1} {(x + 1) \cdot (x - 1)} $$

$$ x - 4 = \frac 6 {x + 1} $$

$$ x^2 - 3 \cdot x -10 = 0 $$

Mit pq-Formel ergeben sich die Lösungen

$$ x_1 = 5 \quad und \quad x_2 = -2 $$

4. Löse die Bruchgleichung \( \frac { 1 }{ x^2 } = \frac { 1 }{ (x-1)^2 } \) nach x auf. Tipp: Nutze die binomischen Formeln.

$$ \frac 1 {x^2} = \frac 1 {(x - 1)^2} $$

Gleichung bruchfrei machen, indem man die Gleichung mit $$ x^2 \quad und \quad (x-1)^2 $$ multipliziert

$$ (x-1)^2 = x^2 $$

2. Binomische Formel anwenden

$$ x^2 -2x + 1 = x^2 $$

$$ x = \frac 1 2 = 0,5 $$

5. Wie viele Lösungen hat die Bruchgleichung \( \frac{x}{x-2} = \frac{x-2}{x} \)?

Wenn man die Gleichung umformt, kürzen sich die quadratischen Glieder heraus, so dass ein linearer Term (bzw. ein Term 1. Ordnung) übrig bleibt. Daher nur eine Lösung.

6. Bestimme die Werte für x, die die Gleichung lösen: \( \frac { 5x + 8 }{ x } =\quad 9 \)

$$ \frac { 5x + 8 }{ x } = 9 \quad |·x \\ \frac { 5x + 8 }{ x } ·x =\quad 9 ·x \\ 5x + 8 = 9 ·x \quad |-5x \\ 8 = 9 ·x - 5x \\ 8 = 4x \quad |:4 \\ 8:4 = x \\ x = 2 $$

7. Löse die Bruchgleichung \( \frac {2x-2} {x} = \frac {4x-4} {x} \) nach x auf.

$$ \frac {2x-2} {x} = \frac {4x-4} {x} $$

$$ ⇔2x-2 = 4x-4$$

$$ -2x= -2$$

$$ x = 1 $$

8. Bestimme den Definitionsbereich für die Gleichung \( \frac 1 {x-t} = 1 - \frac1t \) in Abhängigkeit von t. Tipp: Nenner beachten. Division durch Null ist nicht erlaubt.

Nenner (x - t) muss verschieden von Null sein ⇒ x - t ≠ 0 ⇒ x ≠ t ⇒ x ∈ ℝ \{t}

$$ \frac 1 {x-t} = 1 - \frac 1 t$$

Multiplizieren mit (x - t)·t mit t ≠ 0

$$ t = (x-t)t - (x-t) $$

$$ t = xt -t^2 - x + t $$

$$ t^2 = xt - x = x(t-1) $$

Division mit (t - 1) für t ≠ 1

$$ x = \frac {t^2} {t-1}$$

$$ ⇒ x = \frac {t^2} {t-1} \space mit \space x ≠ 0 \space und \space t ≠ 1$$

9. Stelle gemäß nachfolgendem Text die Bruchgleichung auf und löse diese nach der Unbekannten auf.

Ein Bruch hat den Wert von \( \frac{7}{8} \). Welche Zahl muss man vom Zähler subtrahieren und vom Nenner addieren, damit als Ergebnis \( \frac{3}{4} \) herauskommt?

Unbekannte: Zahl (x)

$$ \frac {7-x} {8+x}=\frac 34$$

$$ 4(7-x) = 3(8+x)$$

$$ 28 - 4x = 24 + 3x$$

$$ -7x = -4 $$

$$x= \frac 47 $$

10. Stelle gemäß nachfolgendem Text die Bruchgleichung auf und löse nach der Unbekannten auf.

Ein Bruch hat den Wert von \( \frac{2}{3} \). Welche Zahl muss man vom Zähler addieren und vom Nenner subtrahieren, damit als Ergebnis \( \frac{1}{2} \) herauskommt?

Unbekannte: Zahl (x)

$$ \frac {2+x} {3-x} = \frac 12$$

$$ 4 + 2x = 3-x$$

$$ x = -\frac 13$$


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