Test: Bruchgleichungen

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1. Löse die Bruchgleichung 3/(x-2) = 9/(x+2) nach x auf.

$$ \frac {3} {x-2} = \frac {9} {x+2} $$

$$ \frac {3} {x-2} = \frac {9} {x+2} $$

Beide Seiten mit (x + 2)*(x - 2) multiplizieren

$$ {3} \cdot (x+2) = {9} \cdot (x-2) $$

$$ {3} \cdot x+6 = {9} \cdot x - 18 $$

$$ {6} \cdot x = 24 $$

$$ x = 4 $$

2. Löse die Bruchgleichung (x -2)/(x^2 - 4) = - (x + 3)/(x^2 - 9) nach x auf.

$$ \frac {(x -2)} {(x^2 - 4)} = - \frac {(x + 3)} {(x^2 - 9)} $$

Tipp: Nutze binomische Formeln

Gemäß 3. binomischer Formel gilt:

$$ (x^2 - 4) = (x + 2) \cdot (x - 2) $$

$$ (x^2 - 9) = (x + 3) \cdot (x - 3) $$

Unsere Bruchgleichung:

$$ \frac {(x -2)} {(x^2 - 4)} = - \frac {(x + 3)} {(x^2 - 9)} $$ Setzen wir die neuen Terme in die Bruchgleichung ein:

$$ \frac {(x - 2)} {(x + 2) \cdot (x - 2) }= - \frac {(x + 3)} {(x + 3)\cdot (x - 3)} $$

$$ \frac {1} {x + 2} = \frac {-1} {x - 3} $$

$$ x - 3 = -(x + 2) $$

$$ x - 3 = -x - 2 $$

$$ x = \frac 1 2 $$

3. Löse die Bruchgleichung (x^2 - 16)/(x + 4) = 6*(x - 1)/(x^2 - 1) nach x auf.

$$ \frac {x^2 - 16} {x + 4} = 6\cdot \frac {x - 1} {x^2 - 1} $$

Tipp: Nutze binomische Formeln.

Laut 3. binomischer Formel gilt:

$$ x^2 - 16 = (x + 4) \cdot (x - 4) $$

$$ x^2 - 1 = (x + 1) \cdot (x - 1) $$

Daraus folgt für die Gleichung:

$$ (x + 4) \cdot \frac {x - 4} {x + 4} = 6 \cdot \frac {x - 1} {(x + 1) \cdot (x - 1)} $$

$$ x - 4 = \frac 6 {x + 1} $$

$$ x^2 - 3 \cdot x -10 = 0 $$

Mit pq-Formel ergeben sich die Lösungen

$$ x_1 = 5 \quad und \quad x_2 = -2 $$

4. Löse die Bruchgleichung 1/x^2 = 1/(x-1)^2 nach x auf.

Tipp: Binomische Formeln

$$ \frac { 1 }{ x^2 } = \frac { 1 }{ (x-1)^2 } $$

$$ \frac 1 {x^2} = \frac 1 {(x - 1)^2} $$

Gleichung bruchfrei machen, indem man die Gleichung mit $$ x^2 \quad und \quad (x-1)^2 $$ multipliziert

$$ (x-1)^2 = x^2 $$

2. Binomische Formel anwenden

$$ x^2 -2x + 1 = x^2 $$

$$ x = \frac 1 2 = 0,5 $$

5. Wie viele Lösungen hat die Bruchgleichung x/(x-2) = (x-2)/x?

$$ \frac{x}{x-2} = \frac{x-2}{x} $$

Wenn man die Gleichung umformt, kürzen sich die quadratischen Glieder heraus, so dass ein linearer Term (bzw. ein Term 1. Ordnung) übrig bleibt. Daher nur eine Lösung.

6. Bestimme die Werte für x, die die Gleichung lösen.

$$ \frac { 5x\quad +\quad 8 }{ x } =\quad 9 $$

$$ \frac { 5x + 8 }{ x } = 9 \quad |·x\\
\frac { 5x + 8 }{ x } ·x =\quad 9 ·x \\
5x + 8 = 9 ·x \quad |-5x \\
8 = 9 ·x - 5x \\
8 = 4x \quad |:4 \\
8:4 = x \\
x = 2 $$

7. Löse die Bruchgleichung (2x-2)/x = (4x-4)/x nach x auf.

$$ \frac {2x-2} {x} = \frac {4x-4} {x} $$

$$ \frac {2x-2} {x} = \frac {4x-4} {x} $$

$$ ⇔2x-2 = 4x-4$$

$$ -2x= -2$$

$$ x = 1 $$

8. Bestimme den Definitionsbereich für die Gleichung 1/(x-t) = 1 - 1/t in Abhängigkeit von t.

$$\frac 1 {x-t} = 1 - \frac1t $$

Tipp: Nenner beachten. Division durch Null ist nicht erlaubt.

Nenner (x - t) muss verschieden von Null sein ⇒ x - t ≠ 0 ⇒ x ≠ t ⇒ x ∈ ℝ \{t}

$$ \frac 1 {x-t} = 1 - \frac 1 t$$

Multiplizieren mit (x - t)*t mit t ≠ 0

$$ t = (x-t)t - (x-t) $$

$$ t = xt -t^2 - x + t $$

$$ t^2 = xt - x = x(t-1) $$

Division mit (t - 1) für t ≠ 1

$$ x = \frac {t^2} {t-1}$$

$$ ⇒ x = \frac {t^2} {t-1} \space mit \space x ≠ 0 \space und \space t ≠ 1$$

9. Stelle gemäß nachfolgendem Text die Bruchgleichung auf und löse diese nach der Unbekannten auf.

Ein Bruch hat den Wert von 7/8. Welche Zahl muss man vom Zähler subtrahieren und vom Nenner addieren, damit als Ergebnis 3/4 herauskommt?

Unbekannte: Zahl (x)

$$ \frac {7-x} {8+x}=\frac 34$$

$$ 4(7-x) = 3(8+x)$$

$$ 28 - 4x = 24 + 3x$$

$$ -7x = -4 $$

$$x= \frac 47 $$

10. Stelle gemäß nachfolgendem Text die Bruchgleichung auf und löse nach der Unbekannten auf.

Ein Bruch hat den Wert von 2/3. Welche Zahl muss man vom Zähler addieren und vom Nenner subtrahieren, damit als Ergebnis 1/2 herauskommt?

Unbekannte: Zahl (x)

$$ \frac {2+x} {3-x} = \frac 12$$

$$ 4 + 2x = 3-x$$

$$ x = -\frac 13$$

11. Bestimme den Definitionsbereich für die Gleichung (3x + a)/(3x - 1) = (x + 1)/(x - a) in Abhängigkeit von a.

$$ \frac {3x+a} {3x-1} = \frac {x+1}{x-a} $$

Tipp: Nenner beachten. Division durch Null ist nicht erlaubt.

Nenner untersuchen:

$$ 3x-1 ≠ 0 ⇒ x≠\frac 13 \space und \space x-a≠0 ⇒x≠a$$

Bruchgleichung umformen

$$ \frac {3x+a} {3x-1} = \frac {x+1}{x-a} ⇔(x-a)(3x+a)=(x+1)(3x-1)$$

$$ 3x^2+ax-3ax-a^2=3x^2-x+3x-1$$

$$ -2ax=2x-1+a^2$$

$$ -2ax-2x=a^2-1$$

$$ -2x(a+1)=a^2-1$$

3. binomische Formel

$$ -2x(a+1)=(a-1)(a+1)$$

Durch -2(a+1) teilen, wobei a ≠ -1 sein muss:

$$ x= \frac {(a-1)(a+1)} {-2(a+1)}$$

$$ x = \frac {a-1} {-2} = \frac {1-a} {2} \space mit \space a ≠ -1$$

12. Finde die Lösungen der Bruchgleichung: (10)/(2x+3) - (15)/(6x+9) = (x²+24)/(4x²+12x+9)

$$ \frac{10}{2x+3} - \frac{15}{6x+9} = \frac{x^2+24}{4x^2+12x+9} $$

Das erste, was man machen sollte (nach bestimmen der Definitionsmenge, die hier nicht gefragt ist), ist den Hauptnenner suchen.

Dazu zerlegen wir die Nenner in ihre Faktoren:
1. (2x+3)=(2x+3)
2. (6x+9)=3(2x+3)
3. (4x²+12x+9)=(2x+3)² (binomische Formel erkennen hilft hier)

Hauptnenner ist also 3·(2x+3)²


(10*(2x+3)*3)-(15*(2x+3))=3x²+72 (Ich habe mir bereits erlaubt mit dem Hauptnenner zu multiplizieren)

60x+90-30x-45=3x²+72 |-72-3x² und zusammenfassen

30x-27-3x²=0 | Mitternachtsformel (oder pq-Formel, dann aber vorher mit -3 dividieren)

x_(1)=1 und x_(2)=9

Siehe auch Lektion Bruchgleichungen

13. Berechne die Bruchgleichung: (3x+4)/3 + 18/(2-3x) = 2

Gib die Lösung exakt an!

$$ \frac{3x+4}{3} + \frac{18}{2-3x} = 2 $$

(3x+4)/3 +18/(2-3x) = 2

Hauptnenner ist (2-3x)·3

Mit diesem direkt multiplizieren:

(3x+4)(2-3x) + 18·3 = 6·(2-3x)

-9x2+12x+50 = 0 |:9, dann pq-Formel

x1 = 2/3-√6 ≈ -1,783 und x2 = 2/3+√6 ≈ 3,116


Siehe auch Lektion Bruchgleichungen

14. Wie lange dauert es, bis das Schwimmbecken trotzdem voll ist?

Ein Schwimmbecken kann durch die Zuflussleitung in 15 Stunden gefüllt werden. Ist das Becken voll, so dauert es 20 Stunden, um das Wasser wieder ablaufen zu lassen. Das Becken ist leer. Die Besitzerin will es füllen, vergisst jedoch, den Ablauf zu schließen.

Wie lange dauert es, bis das Schwimmbecken trotzdem voll ist?

Man nehme sich eine Variable, diese sei x. Sie bezeichne die resultierende Füllung (also die Differenz aus Zu- und Abfluss). Nun die Gleichung aufstellen.

Vorarbeit: Pro Stunde werden 1/15 des Gesamtvolumens hinzugelassen. Pro Stunde werden 1/20 des Gesamtvolumens abgelassen.

Der Ablass wird durch das negative Vorzeichen verdeutlicht. Zusammen haben wir eine Zunahme des Wassers im Becken von 1/x (je Stunde). Es ergibt sich also folgende Gleichung:

1/x = 1/15 - 1/20

Verrechnen wir die rechte Seite und bilden den Kehrwert.

1/x = 4/60 - 3/60
1/x = 1/60 | Kehrwert
x = 60

Das Becken hat unter den gegebenen Bedingungen also eine Fülldauer von 60 Stunden.

15. Löse die Bruchgleichung: (x+3)/x - 15/(x²+3x) = -(2x+1)/(x+3)

$$ \frac{x+3}{x} - \frac{15}{x^2+3x} = -\frac{2x+1}{x+3} $$

(x+3)/x-15/(x^2+3x)=-(2x+1)/(x+3)

Beim zweiten Nenner kannst du zu x(x+3) faktorisieren -> Das ist auch der Hauptnenner. Mit diesem multipliziert ergibt:

(x+3)(x+3)-15=-(2x+1)*x

x²+6x+9-15=-2x²-x |+2x²+x

3x²+7x-6=0

Mit Hilfe der pq-Formel oder Mitternachtsformel lassen sich die Lösungen bestimmen:

x1=-3 und x2=2/3

Da der Nenner aus x und (x+3) besteht, liegt die Lösung x1=-3 nicht im Definitionsbereich und ist keine Lösung.
(Durch 0 darf ja nicht geteilt werden!)

Die Lösung obiger Bruchgleichung ist also allein x2=2/3.


Siehe auch Lektion Bruchgleichungen

16. Löse die Bruchgleichung: 11/(4x) = 2/(2x+2) + 2/(2x-3)

$$ \frac{11}{4x} = \frac{2}{2x+2} + \frac{2}{2x-3} $$

Man beginnt mit der Suche nach einem gemeinsamen Nenner.

(4x)(2x+2)(2x-3) wäre die offenkundigste Wahl. Der Hauptnenner wäre allerdings (4x)(x+1)(2x-3), denn 2x+2=2(x+1).

Mit dem Nenner multipliziert (mal mit dem offenkundigen):

11*(2x+2)(2x-3)=2(2x-3)4x+2(2x+2)4x

Zusammenfassen:

44x2-22x-66=32x2-8x

Alles auf eine Seite:

12x2-14x-66=0

pq-Formel bzw. Mitternachtsformel

x1=3 und x2=-11/6

Achtung: Bei der pq-Formel muss vorher durch 12 dividiert werden!


Siehe auch Lektion Bruchgleichungen

17. Löse die Bruchgleichung (3x-5)/(x-1) - (2x-5)/(x-2) = 1

$$ \frac{3x-5}{x-1} - \frac{2x-5}{x-2} = 1 $$

(3x-5)/(x-1) - (2x-5)/(x-2) = 1 |*(x-1)(x-2)

(3x-5)(x-2) - (2x-5)(x-1) = (x-1)(x-2)

x2-4x+5 = x2-3x+2 |-x2+4x-2

x = 3


Damit also keine der genannte Lösungen.


Siehe auch Lektion Bruchgleichungen

18. Gib die Lösungsmenge der Bruchgleichung an: 7/(12x-24) = 1/(4x-8) + x/(3x-6)

$$ \frac{7}{12x-24} = \frac{1}{4x-8} + \frac{x}{3x-6} $$

Hauptnenner ist 12x-24. Mit dem direkt multiplizieren:

7 = 3+4x |-3

4 = 4x

x = 1


Folglich ist L={1} (mit Definitionsmenge überprüfen, was hier passt)

Siehe auch Lektion Bruchgleichungen

19. Gib den Hauptnenner der Bruchgleichung an: 6/(x+2) - (1-2x)/(x-2) +(6x)/(2x²-8) = 0

$$ \frac{6}{x+2} - \frac{1-2x}{x-2} + \frac{6x}{2x^2-8} = 0 $$

Die Nenner aufgeschrieben und faktorisiert:

x+2 = x+2

x-2 = x-2

2x²-8 = 2(x²-4) = 2(x-2)(x+2)


Hauptnenner (mit kgV): 2(x-2)(x+2)


Siehe auch Lektion Bruchgleichungen

20. Löse die Bruchgleichung: 6/(x+2) - (1-2x)/(x-2) +(6x)/(2x²-8) = 0

$$ \frac{6}{x+2} - \frac{1-2x}{x-2} + \frac{6x}{2x^2-8} = 0 $$

kgV und Hauptnenner ist: 2(x-2)(x+2)

Damit multiplizieren wir gleich:

6*(x-2)*2 - (1-2x)*(x+2)*2 +6x = 0

Vereinfachen/Auflösen:

4x²+24x-28 = 0

pq-Formel (vorher durch 4 dividieren, oder direkt Mitternachtsformel verwenden):

x1 = -7 und x2 = 1


Siehe auch Lektion Bruchgleichungen


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