Test: Lineare Funktionen I

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1. Wie lautet die Gleichung der linearen Funktion (siehe Abbildung)?

Die Abbildung zeigt den Graphen im Koordinatensystem:

Graph 1

Der Achsenschnittpunkt ist bei S(0|1,5), damit ist n = 1,5.

Gehen wir eine Einheit nach rechts, dann müssen wir 1,5 Einheiten nach oben gehen, damit wir wieder auf dem Graph sind. Punkt wäre P(1|3).

Die Differenz für y beträgt 3 - 1,5 = 1,5. Damit ist m = 1,5.

Wir stellen auf:
f(x) = m·x + n
f(x) = 1,5·x + 1,5

2. Berechne die Nullstellen der Funktion: f(x)= 4x+13-3x+(-12)

Tipp: Ersetze f(x) durch 0 und löse die Gleichung!

f(x) = 4x + 13 - 3x + (-12)

4x + 13 - 3x + (-12) = 0

4x - 3x + (-12) + 13 = 0

1x + 1 = 0 |-1

1x = -1

x = -1

Siehe auch Lektion Umstellen von Gleichungen.

3. Woran erkennt man eine Funktion?

Tipp: Erinnere dich an die gelernten Formeln.

Jedem x-Wert ist genau ein y-Wert zugeordnet.

4. In welchem Punkt schneiden sich die beiden linearen Graphen?

Es sind zwei lineare Funktionen geben mit:

f(x) = 3,5·x + 2

g(x) = 2,5·x + 4

Berechne, in welchem Punkt sie sich schneiden.

Wir müssen zuerst beide Funktionen gleichsetzen:

f(x) = g(x)

3,5·x + 2 = 2,5·x + 4

Dann die Gleichung nach x umstellen:

3,5·x + 2 = 2,5·x + 4 | -2,5x

3,5·x - 2,5·x + 2 = 4 | -2

3,5·x - 2,5·x = 4 - 2

x = 2

Nun noch den y-Wert bestimmen:

f(x) = 3,5·x + 2

f(2) = 3,5·2 + 2 = 7 + 2 = 9 = y

Damit ist der Schnittpunkt S(2|9).

5. Gib die Funktionsgleichung des abgebildeten linearen Graphen an.

Tipp: Schau dir den y-Achsenabschnitt an, also den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse. Danach versuche, die Steigung zu erkennen.

Graph 5

Schnittpunkt mit y-Achse: S(0|1,5). Damit ist m = 1,5.

Die Steigung ist 1 Einheit nach rechts, 3 Einheiten nach unten. Also m = -3.

Wir erhalten:
f(x) = m·x + n
f(x) = -3·x + 1,5

6. Wo hat der Funktionsgraph von f(x) = x · 1/2 + 3/4 eine Nullstelle?

Gegeben ist die Funktion f(x) = x · 1/2 + 3/4

Berechne deren Nullstelle.

x · 1/2 + 3/4 = 0

x · 1/2 = -3/4

x = 2 · (-3/4)

x = -6/4

x = -3/2

7. Liegt der Punkt P(2,5|4) auf dem Graphen der Funktion?

Dir ist folgende Funktion gegeben: \( f(x) = \frac{35}{3}x + 2 \). Liegt der Punkt P (2,5|4) auf dem Graphen der Funktion?

Tipp: Setze für x die 2,5 ein.

Einfach x-Wert des Punktes einsetzen und schauen, ob sich der richtige y-Wert ergibt:

\( f(x) = \frac{35}{3}x + 2 = y \\ f(2,5) = \frac{35}{3}·2,5 + 2 \\ f(2,5) = \frac{35}{3}·\frac{5}{2} + 2 \\ f(2,5) = \frac{35·5}{3·2} + 2 \\ f(2,5) = \frac{175}{6} + 2 \\ f(2,5) = \frac{175}{6} + \frac{12}{6} \\ f(2,5) = \frac{187}{6} ≈ 31,17 \)

Der ermittelte Punkt R(2,5|31,17) entspricht nicht dem Punkt(2,5|4). Daher liegt der Punkt(2,5|4) nicht auf dem Graphen.

8. Welche Steigung hat der Graph? Ablesen!

Dir ist nachfolgender Graph gegeben. Berechne die Steigung des Graphen. Denke an das Steigungsdreieck.

Graph 8

Wenn wir von x = 0 zu x = 1 eingehen, dann sehen wir, dass sich der Graph von y = 0 auf y = 0,5 erhöht.

Die Steigung ist also $$ m = \frac{0,5 - 0}{1 - 0} = 0,5 = \frac{1}{2} $$

9. Bestimme rechnerisch die Steigung der Gerade aus zwei Punkten: P1(2|6) und P2(5|9).

Wenn zwei Punkte gegeben sind, können wir zur Bestimmung der Funktionsgleichung (und der Steigung), die Zweipunkteform verwenden.

$$ f(x) = m · (x - x_1) + y_1 \\ f(x) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} · (x - x_1) + y_1 \\ f(x) = \frac{9 - 6}{5 - 2} · (x - 2) + 6 \\ f(x) = \frac{3}{3} · (x - 2) + 6 \\ f(x) = 1 · (x - 2) + 6 \\ f(x) = 1·x - 2 + 6 \\ f(x) = 1·x + 4 $$

Die Steigung ist m = 1.

10. Gesucht ist die Funktionsgleichung einer linearen Funktion

Gegeben sind: Steigung m = -2 und ein Punkt mit P(2|-1)

Die allgemeine Form lautet:

f(x) = m·x + n

Die Steigung ist gegeben, es gilt also m=-2

Jetzt muss außerdem gelten:

f(2) = -1

damit der Punkt auf dem Graphen liegt.

Also:

f(2) = -2*2 + n = -1

-4 + n = -1 |+4

n = 3

Die Gleichung lautet also:

f(x) = -2·x + 3


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