Test: Quadratische Gleichungen

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1. Berechne x^2 + 5 = 9

Tipp: Umstellen und Wurzel ziehen.

x^2 + 5 = 9 | -5

x^2 = 4 | ±√

x1,2 = ±√4

x1,2 = ±2

2. Richtige Lösung der Gleichung (x+6)^2 + 36 - x = (x+1)(x-1) - 4

Im Mathe-Unterricht wird die Gleichung (x+6)^2 + 36 - x = (x+1)(x-1) - 4 von den Schülern gelöst. Anne und Marko stellen ihre Lösungswege vor:

Anna:

x^2 + 36 + 36 - x = x^2 - 1 - 4
x^2 + 72 - x = x^2 - 5
x = 77

Marko:

x^2 + 12x + 36 + 36 - x = x^2 - 1 - 4
x^2 + 11x + 72 = x^2 - 5
x = -7

Wer hat richtig gerechnet?


3. Voraussetzungen für: Das Doppelte des Produktes zweier Zahlen ist gleich der Hälfte des ...

Unter welchen Voraussetzungen gilt folgender Zusammenhang:

Das Doppelte des Produktes zweier Zahlen ist gleich der Hälfte des Quadrates ihrer Summe vermindert um die Hälfte des Quadrates ihrer Differenz.

$$ 2xy=\frac{(x+y)^2}2- \frac{(x-y)^2}2 \quad |\cdot 2$$
$$ 4xy=(x+y)^2 - (x-y)^2$$
$$ 4xy=x^2+2xy+y^2 - (x^2-2xy+y^2)$$
$$ 4xy=x^2+2xy+y^2 - x^2+2xy-y^2$$
$$ 4xy=x^2- x^2+2xy+2xy-y^2+y^2$$
$$ 4xy=0+2xy+2xy+0$$
$$ 4xy=4xy$$

keine Einschränkungen des Definitionsbereiches - Gleichung ist allgemeingültig - komplexe Zahlen mit negativem Betrag gibt es nicht

4. Welche dieser Gleichungen hat keine reelle Lösung?

x^2 = -1
hat keine Lösung, weil das Quadrat einer reellen Zahl
nie negativ ist.

5. Bestimme die Nullstelle der quadratischen Gleichung x^2+4·x+2 = 0

Die Gleichung wird mit Hilfe der Lösungsformel (p-q-Formel) gelöst:

$$ {x}_{1,2}=-\left(\frac{p}{2}\right) \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q} $$

Dabei hat die Gleichung die Form:

0 = x^2 + p·x + q

Anwendung:

$$ {x}_{1,2} = -\left(\frac{p}{2}\right) \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q} \\
{x}_{1,2} = -\left(\frac{4}{2}\right) \pm \sqrt{ \left(\frac{4}{2}\right)^{2}-2} \\
{x}_{1,2} = -2 \pm \sqrt{ 2^{2}-2} \\
{x}_{1,2} = -2 \pm \sqrt{2} $$

x1 = -2 - √2

x2 = -2 + √2

6. Löse die quadratische Gleichung: 2x^2+5x = 0

x(2x+5) = 0

Also x_(1) = 0, und

2x+5 = 0 /-5

2x = -5 /:2

x_(2) = -2,5

7. Welche Lösungsmethode eignet sich am Besten zum Lösen der Gleichung: ax^2 = bx

ax^2 = bx
ax^2 - bx = 0
x(ax-b) = 0

Nun Faktorweise Nullsetzen.

Siehe auch: https://www.matheretter.de/grundlagen/terme-gleichungen-umformen#nullprodukt

8. Welches Lösungsverfahren eignet sich am besten beim Lösen von x^2 + px + q = 0?

Vergleiche https://www.matheretter.de/grundlagen/quadratische-gleichungen#pq

9. Welches Verfahren eignet sich am Besten zum Lösen von Gleichungen der Form ax^2 = b

Vergleiche Lektion Wurzeln.

10. Bestimme die Lösung der quadratischen Gleichung: 2(2x^2-5)+12 = 3x^2+5

2(2x2-5)+12=3x2+5

4x2 - 10 + 12 = 3x2 + 5 |-3x2 - 5

x2 - 3 = 0 |+3

x^2 = 3 |Wurzel ziehen

x = ±√3

11. Bestimme die Lösung der quadratischen Gleichung: 2(2x^2-5)+12 = 3x^2-1

2(2x2-5)+12 = 3x2-1

4x2 - 10 + 12 = 3x2 - 1 |-3x2 +1

x2 + 3 = 0

x^2 = -3


Links kann nie negativ werden, weswegen es keine reelle Lösung gibt.

12. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 65cm lang, der Umfang beträgt 150cm. Wie lang ist jede der beiden Katheten?

Gegeben

a + b = 85

a2 + b2 = 652

Erste Gleichung nach a auflösen: a = 85-b.

In die zweite Gleichung einsetzen:

(85-b)2+b2 = 652 |Binom auflösen

852 - 2*85b + b2 + b2 = 652 |-652

2b2 - 170b + 852-652 = 0 |852-652 = 3000 |:2

b2 - 85b + 1500 = 0 |pq-Formel

b1= 25 und b2= 60

Wenn man die beiden Lösungen in die Gleichung 1 einsetzt (a+b=85) merkt man sofort, dass nur die Konstellation:

a=25 und b=60

oder

a=60 und b=25

möglich sind.

13. Bestimme die Lösung der quadratischen Gleichung: 4x^2-3x = 0

4x²-3x = 0

x(4x-3)

Also x_(1) = 0

4x-3 = 0 /+3

4x = 3 /:4

x_(2) = 0,75


x1 = 0,75 x2 = 0

14. Das Produkt aus einer Zahl und der um 17 kleineren Zahl ist Null. Gib das Ergebnis in Allgemeinform an

x(x-17) wäre wohl der Ausdruck, welchen man direkt erhalten würde. x^2-17x ist aber die Normalform, wie gefordert.

15. Bestimme die Lösung der quadratischen Gleichung x(12x-2)+10= 3(5-2x) unter Verwendung der pq-Formel

abc-Formel-Nutzer sind herzlich willkommen auch diese zu nutzen

12x2-2x+10 = 15-6x |-15+6x

12x2+4x-5 = 0 |:12

x2 + 1/3*x - 5/12 = 0 |pq-Formel

x1 = -5/6

x2 = 1/2

16. In welcher Höhe befindet sich die Knickstelle?

Ein 10 m hoher Mast wurde vom Sturm geknickt. Die Spitze berührt den Erdboden 5 m vom Fußpunkt des Mastes entfernt. In welcher Höhe befindet sich die Knickstelle?

Die Gleichung am einfachsten mit einem Schaubild aufgestellt:

Bild Mathematik

Satz des Pythagoras: x2+52 = (10−x)2


Diese gelöst:

x = 3,75

17. Löse die quadratische Gleichung: 2x^2-8x+10 = 4

2·x² + (-8)·x + 6 = 0 | :2

2·x²:2 + (-8)·x:2 + 6:2 = 0

1·x² + (-4)·x + 3 = 0

p = -4 und q = 3

Lösung mit p-q-Formel:

x1,2 = -(p2) ± √((p2)² - q)

x1,2 = -(-42) ± √((-42)² - 3)

x1,2 = 2 ± √1

Lösungen:

x1 = 2 + 1 = 3

x2 = 2 - 1 = 1

18. Löse die quadratische Gleichung: 1,8·x² + (-7,4)·x + 4,8 = 4

1,8·x² + (-7,4)·x + 0,8 = 0 | :1,8

1,8·x²:1,8 + (-7,4)·x:1,8 + 0,8:1,8 = 0

1·x² + (-4,11111)·x + 0,44444 = 0

p = -4,11111 und q = 0,44444

Lösung mit p-q-Formel:

x1,2 = -(p2) ± √((p2)² - q)

x1,2 = -(-4,111112) ± √((-4,111112)² - 0,44444)

x1,2 = 2,05555 ± √3,78087

Lösungen:

x1 = 2,05555 + 1,94445 = 4

x2 = 2,05555 - 1,94445 = 0,1111

19. Bestimme die Lösung der quadratischen Gleichung: 3·x² + -2·x + -7 = 1

Berechnung der Normalform:

3·x² + (-2)·x + (-8) = 0 | :3

3·x²:3 + (-2)·x:3 + (-8):3 = 0

1·x² + (-0,66667)·x + (-2,66667) = 0

p = -0,66667 und q = -2,66667

Lösung mit p-q-Formel:

x1,2 = -(p2) ± √((p2)² - q)

x1,2 = -(-0,666672) ± √((-0,666672)² - (-2,66667))

x1,2 = 0,33333 ± √2,77778

Lösungen:

x1 = 0,33333 + 1,66667 = 2

x2 = 0,33333 - 1,66667 = -1,33334

20. Bestimme die Lösung der quadratischen Gleichung: -x² + 3·x + 4 = 0

Berechnung der Normalform:

(-1)·x² + 3·x + 4 = 0 | :(-1)

(-1)·x²:(-1) + 3·x:(-1) + 4:(-1) = 0

1·x² + (-3)·x + (-4) = 0

p = -3 und q = -4

Lösung mit p-q-Formel:

x1,2 = -(p2) ± √((p2)² - q)

x1,2 = -(-32) ± √((-32)² - (-4))

x1,2 = 1,5 ± √6,25

Lösungen:

x1 = 1,5 + 2,5 = 4

x2 = 1,5 - 2,5 = -1


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