Umrechnen von Bogenmaß und Gradmaß

Das Gradmaß lässt sich leicht ins Bogenmaß umrechnen, genauso wie das Bogenmaß ins Gradmaß.

Erinnern wir uns, dass ein kompletter Kreis einen Vollwinkel von 360° hat bzw. in Radiant 2·π rad. Für jeden Winkel können wir entsprechend im Verhältnis Grad oder Radiant bestimmen.

90° bedeutet: 1 Teil von 4 Teilen des Kreisbogens. Damit:

\( 360° · \color{#00F}{\frac{1}{4}} \)   bzw.   \( \frac{360°}{4} = 90° \)

Das Gleiche in Radiant ausgedrückt:

\( 2·π · \color{#00F}{\frac{1}{4}} \)   bzw.   \( 2·\frac{π}{4} = 0,5·π \text{ rad} \)

0,5·π können wir mit dem Taschenrechner ausrechnen und erhalten 0,5·π ≈ 0,5 · 3,142 ≈ 1,571 rad.

Allgemeine Formel

Wir stellen das Verhältnis auf für einen vollen Kreis (Vollwinkel):

360° = 2·π

Dann dividieren wir auf beiden Seiten :2, also:

360° = 2·π   | :2
180° = π

Wenn wir einen Winkel α haben, können wir sagen α verhält sich zu 180° genauso wie unser Winkel in Radiant zu π:

αGrad / 180° = αrad / π

\( \dfrac{ α_{ \small{ \text{Grad} } } }{ 180° } = \dfrac{ α_{ \small{ \text{rad} } } }{ π } \)

Auf Grundlage dieser Verhältnisgleichung können wir das Bogenmaß in Grad umwandeln und Grad in Bogenmaß.

Zum Beispiel für α = 90°:

\( \dfrac{ \color{#00F}{ α_{ \small{ \text{Grad} } } } }{ 180° } = \dfrac{ α_{ \small{ \text{rad} } } }{ π } \quad | \ α_{ \small{ \text{Grad} } } = 90° \\ \dfrac{ \color{#00F}{90°} }{ 180° } = \dfrac{ α_{ \small{ \text{rad} } } }{ π } \quad | ·π \\ α_{ \small{ \text{rad} } } = π · \dfrac{ 90° }{ 180° } \\ α_{ \small{ \text{rad} } } = 0,5 · π \)

Wie wir sehen, sind 90° = 0,5·π.

Wir können nun folgende allgemeine Formeln aufstellen:

Formel von Grad zu Bogenmaß

αGrad / 180° = αrad / π   | · π
αrad = (αGrad / 180°) · π

Von Gradmaß zu Bogenmaß:

\( \color{blue}{\alpha_{\text{rad}}} = \frac { \alpha_{\text{Grad}} }{ 180° } \cdot \pi \)

Formel von Bogenmaß zu Grad

αGrad / 180° = αrad / π   | · 180°
αGrad = (αrad / π) · 180°

Von Bogenmaß zu Gradmaß:

\( \color{blue}{\alpha_{\text{Grad}}} = \frac { \alpha_{\text{rad}} }{ \pi } \cdot 180° \)

Winkelangabe in Gradmaß oder Bogenmaß

Bei der Angabe des Winkels ist es uns überlassen, ob wir ihn in Gradmaß oder Bogenmaß notieren. Es handelt sich schließlich um den selben Winkel, nur in einer anderen Einheit ausgedrückt.

sin(α) = y

Hier kann α entweder als Gradmaß oder Bogenmaß notiert werden.

Zum Beispiel:

sin(90°) = 1
sin(0,5π rad) = 1

Man schreibt übrigens das rad oft nicht mit, das heißt, folgende Notation für das Bogenmaß ist auch korrekt:

sin(0,5π) = 1