Bruchgleichungen (Einführung)

Bruchgleichungen werden Gleichungen genannt, bei denen mindestens eine Unbekannte im Nenner auftritt. Bruchgleichungen kann man eigentlich wie gewöhnliche Gleichungen lösen. Allerdings hat man die sogenannte Definitionsmenge zu berücksichtigen. Definitionsmenge bedeutet nicht viel mehr als "was darf x für Werte annehmen". Dazu solltet ihr euch daran erinnern, dass es verboten ist (nicht definiert) durch 0 zu dividieren, bei einem Bruch also der Nenner nicht 0 werden darf. Hat man also eine Bruchgleichung gegeben, die beispielsweise die Gestalt:

$$\frac{2}{3+x} + \frac{1}{x} = 5$$

hat, so ist zu verhindern, dass keiner der Nenner den Wert 0 annimmt. Dies wird durch die Definitionsmenge (man sagt auch "Definitionsbereich") eingeschränkt und verdeutlicht. Im obigen Fall haben wir dieses Problem, wenn der Nenner den Wert \(x = -3\) oder den Wert \(x = 0\) annimmt und so müssen diese mittels Festlegung der Definitionsmenge herausgenommen werden. Das wird so geschrieben: \(D = \mathbb R \setminus \{-3;0\}\) was bedeutet: Die Definitionsmenge beinhaltet alle reellen Zahlen "ohne" (der Schrägstrich) die Zahlen -3 und 0. Diese Vorarbeit ist bei Bruchgleichungen notwendig.

Merkt euch: Sollte sich als Ergebnis eine der nicht erlaubten Zahlen ergeben, so darf sie nicht als Lösung verwendet werden.

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