Bruchgleichungen lösen mit binomischen Formeln

Um mit Bruchgleichungen arbeiten zu können, benötigen wir folgendes Vorwissen:

  1. binomische Formeln
  2. Ausklammern
  3. p-q-Formel
  4. quadratische Gleichungen

Dies alles sind Verfahren, um Bruchgleichungen zu lösen. Insbesondere die Anwendung der binomischen Formeln ist von Bedeutung.

Lösen wir die folgende Bruchgleichung mit Hilfe der binomischen Formeln:

\( \frac{5}{x^2-4} + \frac{2· x}{x+2} = 2 \)

Hier kann man sich Arbeit ersparen, wenn man im Nenner des ersten Summanden (also x²-4) die dritte binomische Formel erkennt.

\( \frac{5}{(x+2)·(x-2)} + \frac{2· x}{x+2} = 2 \)

Nun wird noch die Definitionsmenge bestimmt, bevor man mit der Lösung beginnt. Die Definitionsmenge lautet D = ℝ \ {-2; 2}.

Jetzt können wir die Bruchgleichung angehen:

Der Hauptnenner sollte sofort mit (x+2)·(x-2) erkannt werden. Erweitern wir entsprechend:

\( \frac{5}{(x+2)·(x-2)} + \frac{2· x\color{blue}{·(x-2)}}{(x+2)\color{blue}{·(x-2)}} = \frac{2\color{blue}{·(x+2)·(x-2)}}{\color{blue}{(x+2)·(x-2)}} \)

Es kann nun direkt mit dem Hauptnenner multipliziert werden.

\( \frac{5}{\color{blue}{(x+2)·(x-2)}} + \frac{2· x·(x-2)}{\color{blue}{(x+2)·(x-2)}} = \frac{2·(x+2)·(x-2)}{\color{blue}{(x+2)·(x-2)}} \quad |· \color{red}{(x+2)·(x-2)} \\ 5 + 2· x·(x-2) = 2(x^2-4) \\ 5 + 2· x^2 - 4· x = 2· x^2 - 8 \quad|-2· x^2 + 4· x + 8 \\ 4· x = 13 \quad |:4 \\ x = \frac{13}{4} \)

Dieser Wert liegt in der Definitionsmenge und ist damit erlaubt.

Die Lösungsmenge ist also \( L = \{\frac{13}{4}\} \).