Bruchgleichungen lösen mit binomischen Formeln

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Um mit Bruchgleichungen arbeiten zu können, solltet ihr euch unter anderem im Bereich der binomischen Formeln, dem Ausklammern und der p-q-Formel (siehe auch quadratische Gleichungen) auskennen, welches alles Verfahren sind, um Bruchgleichungen lösen zu können. Gerade die Anwendung der binomischen Formeln ist von Bedeutung, deshalb folgt hierzu noch ein weiteres Beispiel. Lösen wir diese Bruchgleichung:

$$ \frac{5}{x^2-4} + \frac{2\cdot x}{x+2} = 2 $$

Hier kann man sich Arbeit ersparen, wenn man im Nenner des ersten Summanden (also x²-4) die dritte binomische Formel erkennt.

$$ \frac{5}{(x+2)\cdot(x-2)} + \frac{2\cdot x}{x+2} = 2 $$

Nun wird noch der Definitionsbereich bestimmt, bevor man richtig durchstartet. Dieser lautet \(D = \mathbb R\setminus\{-2;2\}\). Damit kann nun die Bruchgleichung angegangen werden. Der Hauptnenner sollte sofort zu \((x+2)\cdot(x-2)\) erkannt werden. Erweitern wir entsprechend:

$$ \frac{5}{(x+2)\cdot(x-2)} + \frac{2\cdot x\color{blue}{\cdot(x-2)}}{(x+2)\color{blue}{\cdot(x-2)}} = \frac{2\color{blue}{\cdot(x+2)\cdot(x-2)}}{\color{blue}{(x+2)\cdot(x-2)}} $$

Es kann nun direkt mit dem Hauptnenner multipliziert werden.

$$ \frac{5}{\color{blue}{(x+2)\cdot(x-2)}} + \frac{2\cdot x\cdot(x-2)}{\color{blue}{(x+2)\cdot(x-2)}} = \frac{2\cdot(x+2)\cdot(x-2)}{\color{blue}{(x+2)\cdot(x-2)}} \quad |\cdot \color{red}{(x+2)\cdot(x-2)} $$ $$ 5 + 2\cdot x\cdot(x-2) = 2(x^2-4) $$ $$ 5 + 2\cdot x^2 - 4\cdot x = 2\cdot x^2 - 8 \quad|-2\cdot x^2 + 4\cdot x + 8 $$ $$ 4\cdot x = 13 \quad |:4 $$ $$ x = \frac{13}{4} $$

Dieser Wert liegt in der Definitionsmenge und ist damit erlaubt. Die Lösungsmenge ist also \(L = \{\frac{13}{4}\}\).

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