Fakultät und Binomialkoeffizient
Bisher wurde der Term x! („x Fakultät“) ohne weitere Erläuterung verwendet. Daher sei zunächst festgestellt, dass x! nur für alle x∈ℕ definiert ist.
In bestimmten Fällen tritt aber auch 0! auf, dann gilt:
\( 0! = 1 \) Gl. 79
Ein solcher Fall tritt bei den sog. Binomialkoeffizienten auf:
Die Berechnungsvorschrift für die Kombination ohne Wiederholung (Gl. 75)
\( \frac{ {n!} }{ {(n - k)! \cdot k!} } = \left( {\begin{array}{cc}n\\k\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{cc}n\\{n - k}\end{array} } \right) \) „lies: n über k“ Gl. 80
wird auch als Binomialkoeffizient bezeichnet, wobei n, k ∈ ℕ und k ≤ n. Der Name kommt daher, dass eine Anwendung der Kombination ohne Wiederholung die Berechnung der Faktoren von Binomen beliebiger Potenz zum Gegenstand hat.
So werden die n+1 Faktoren bei der Auflösung binomischer Formeln
\( {\left( {a + b} \right)^n} \) Gl. 81
in bekannter Weise nach dem PASCALschen (Blaise PASCAL, 1623 - 1662) Dreieck
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
usw. berechnet.
Gl. 81 würde also bei n = 4 folgendermaßen aufgelöst werden:
\( {\left( {a + b} \right)^n} = 1 \cdot {a^4} + 4 \cdot {a^3}b + 6 \cdot {a^2}{b^2} + 4 \cdot a{b^3} + 1 \cdot {b^4} \)
Nun ist das PASCALsche Dreieck ein eingängiges Schema, aber insbesondere bei großen n nur schwer zu handhaben. Mit den Mitteln der Kombinatorik kann das gleiche Resultat erhalten werden. Eine Analyse obiger Gleichung zeigt, dass der Faktor a k-mal und der Faktor b (n-k)-mal. Dies weist darauf hin, dass das Produkt
\( {a^k} · {b^{n - k} } \qquad \frac{ {n!} }{ {(n - k)! \cdot k!} } \text{-mal} \) Gl. 82
auftritt.
Damit können unter Zuhilfenahme von Gl. 80 die einzelnen Summanden wie folgt berechnet werden:
\( {\left( {a + b} \right)^n} = \left( {\begin{array}{cc}4\\0\end{array} } \right) \cdot {a^4} + \left( {\begin{array}{cc}4\\1\end{array} } \right) \cdot {a^3}b + \left( {\begin{array}{cc}4\\2\end{array} } \right) \cdot {a^2}{b^2} + \left( {\begin{array}{cc}4\\3\end{array} } \right) \cdot a{b^3} + \left( {\begin{array}{cc}4\\4\end{array} } \right) \cdot {b^4} \) Gl. 83