Variation

Lesedauer: 4 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Die Variation (Abwandlung) greift Elemente aus einer Grundmenge heraus und ermittelt deren mögliche Kombinationen unter Beachtung der Reihenfolge.

Aufgabe:

Aus N Elementen der Grundmenge werden k Elemente ausgewählt. Die Reihenfolge ist dabei wichtig.

Fragestellung:

Wie viele Zusammenstellungen (Variationen) von k Elementen aus der Grundmenge unter Beachtung der Reihenfolge gibt es?

Variation ohne Wiederholung

Geltungsbereich:

1. Alle N Elemente der Ausgangsmenge sind unterscheidbar.

2. Es werden k Elemente ausgewählt.

3. Die Reihenfolge ist wichtig.

4. Elemente können nicht mehrfach ausgewählt werden.

Fragestellung:

Wie viele unterschiedliche Variationen von k aus N Elementen gibt es?

\( V_N^k = \frac{ {N!} }{ {(N - k)!} } \) Gl. 77

Die Baumstruktur mit den bekannten Ausgangsdaten N = 3 und k = 2 zeigt:

Abbildung 27 Baumstruktur mit Grundmenge N = 3 und k = 2
Abbildung 27: Baumstruktur mit Grundmenge N = 3 und k = 2

Beispiel:

Bei einem Pferderennen wird auf die Platzierung der ersten drei Pferde gewettet. 8 Pferde gehen an den Start. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Platzierung 1. Platz - Nr. 1, 2. Platz - Nr. 2 und 3. Platz – Nr. 3?

Lösung:

V = 8!/(5!) = 336 Möglichkeiten gibt es für den Einlauf von 3 Pferden. D.h. die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 0,3 %.

Variation mit Wiederholung

Geltungsbereich:

1. Alle N Elemente der Ausgangsmenge sind unterscheidbar.

2. Es werden k Elemente ausgewählt.

3. Die Reihenfolge ist wichtig.

4. Elemente können mehrfach ausgewählt werden.

Fragestellung:

Wie viele unterschiedliche Variationen gibt es?

\( V_N^k = {N^k} \) Gl. 78

Die Baumstruktur zeigt die Auswahl von k = 2 Elementen aus N = 3 Elementen:

Abbildung 28 Baumstruktur mit Grundmenge N = 3 und k = 2
Abbildung 28: Baumstruktur mit Grundmenge N = 3 und k = 2

Beispiel:

Das treffendste Beispiel ist unser Dezimalsystem. Wie viele dreistellige Zahlen gibt es?

Lösung:

V = 103 = 1000, nämlich 000 bis 999.

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