Integration läuft ins Leere
Es wurde vorher erwähnt, dass die partielle Integration bei der falschen Wahl ins Leere laufen kann. Das sei hier mal gezeigt.
\( \int f(x) \cdot g'(x) \;dx = \left[f(x) \cdot g(x) \right] - \int f'(x) \cdot g(x) \;dx \)
Wenn wir uns an die Faustregel erinnern, so sollte man f(x) = x wählen. Nehmen wir aber nun absichtlich mal g’(x) = x.
\( f(x) = \cos(x) \quad \to \quad f'(x) =-\sin(x) \)
\( g'(x) = x \quad \to \quad g(x) = \frac12x^2 \)
Damit nun in die obige Formel:
\( \int f(x) \cdot g'(x) \;dx = \left[\cos(x) \cdot \frac12x^2\right] - \int (-\sin(x)) \cdot \frac12x^2\;dx \)
Schon der erste Summand sieht deutlich komplizierter aus als oben, doch wäre dieser erledigt und stellt kein Problem dar. Hingegen ist das hintere Integral noch zu lösen, wo wir wiederum ein Produkt vorliegen haben.
Aber auch eine weitere partielle Integration führt hier nicht zum Ziel (bei erneuter Wahl der Potenz als g’(x)) und die Integration läuft ins Leere.