Zweifache Integration

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Zuletzt schauen wir uns noch ein Beispiel an, bei dem die zweiface Integration eine Rolle spielt.

Das zu bestimmende Integral sei von der Funktion \( h(x) = x^2\cdot \cos(x) \).


Direkt zur Sache:

\( f(x) = x^2\quad \to \quad f'(x) = 2x \)

\( g'(x) = \cos(x) \quad \to \quad g(x) = \sin(x) \)


\( \int f(x) \cdot g'(x) \;dx = \left[f(x) \cdot g(x) \right] - \int f'(x) \cdot g(x) \;dx \)

\( \int x^2\cdot \cos(x) \;dx = \left[x^2\cdot \sin(x) \right] - \int (2x\cdot \sin(x) \;dx \)


Nun haben wir mit dem letzten Summanden weiterhin ein Produkt, welches zu integrieren ist. Tun wir das also. Dabei konzentrieren wir uns für diesen Schritt ausschließlich auf den letzten Summanden.


\( f(x) = 2x\quad \to \quad f'(x) = 2 \)

\( g'(x) = \sin(x) \quad \to \quad g(x) = -\cos(x) \)


\( \int f(x) \cdot g'(x) \;dx = \left[f(x) \cdot g(x) \right] - \int f'(x) \cdot g(x) \;dx \)

\( \int 2x\cdot \sin(x) \;dx = \left[2x\cdot (-cos(x)) \right] - \int 2\cdot (-\cos(x)) \;dx \)

Nun wieder in das ursprüngliche Problem:

\( \int x^2\cdot \cos(x) \;dx = \left[x^2\cdot \sin(x) \right] - \int (2x\cdot \sin(x) \;dx \)

\( \int x^2 \cdot \cos(x) \; dx = \left[x^2 \cdot \sin(x) \right] - \left[ 2x \cdot (-cos(x)) \right] - \int 2 \cdot (-\cos(x)) \; dx \)


Aufgelöst. Insbesondere die Rechenzeichen verrechnet.

\( \int x^2 \cos(x) \; dx = \left[ x^2 \sin(x) \right] + \left [2x \cdot \cos(x) \right] + \int 2 \cdot \cos(x) \; dx \)


Nun muss nur noch der letzte Summand integriert werden, was aber kein Problem darstellt:


\( \int x^2\cdot \cos(x) \;dx = \left[x^2\cdot \sin(x) + 2x\cdot cos(x) - 2\cdot \sin(x) \right] \)

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