Kombinatorik

Lesedauer: 3 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Leibnitz’ Irrtum – Über die Kunst, richtig zu zählen

Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716) wunderte sich über folgende Beobachtung erfahrener Würfelspieler:
Beim Würfeln mit zwei Würfeln tritt die Augensumme neun häufiger auf als die Augensumme zehn.

Leibniz überlegte sich:

Für die Augensumme neun gibt es zwei Möglichkeiten,
3 + 6 = 9 und 4 + 5 = 9 .

Für die Augensumme zehn gibt es ebenfalls zwei Möglichkeiten,

4 + 6 = 10 und 5 + 5 = 10 .

Also müssten eigentlich beide Augensummen gleich häufig auftreten!? Dennoch spricht die oben gemachte Erfahrung dafür, dass die Augensumme neun häufiger vorkommt als die Augensumme zehn.

Hätte Leibnitz „richtig“ gezählt, wäre ihm klar geworden, dass die einfache Logik versagt. Denn es gibt nur drei und nicht vier Möglichkeiten, mit zwei Würfeln eine 10 zu würfeln (siehe folgende Abbildung)!

Abbildung 19 Würfel Augensummen Kombinatorik
Abbildung 19: Würfel Augensummen Kombinatorik

Mit der Kunst des richtigen Zählens befasst sich das Teilgebiet der Kombinatorik. Diese wiederum spielt, wie es das Beispiel zeigt, eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Denn, um die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses angeben zu können, wird die prinzipielle Häufigkeit, mit der das Ereignis eintreten kann, zur Gesamtzahl aller möglichen Ereignisse ins Verhältnis gesetzt. Wie groß nun die Häufigkeit der gewünschten Ereignisse ist hängt nun ganz stark von der Aufgabenstellung ab. Wichtig ist dabei auch, ob Elemente mehrfach verwendet auftreten können (mit Wiederholung) oder nicht (ohne Wiederholung).

Im folgenden werden die drei wichtigsten Aufgabenstellungen betrachtet.

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