Umwandlung von Parameterform in Normalenform

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Dies ist der gleiche Weg, wie wir ihn gezeigt haben bei Umwandlung von Parameterform in Koordinatenform. Der Unterschied ist nur, dass wir die Normalenform am Ende stehen lassen und nicht mehr in die Koordinatenform umwandeln müssen.

Gegebene Parameterform:

X = (x | y | z) = (0 | 2 | -1) + s · (6 | -7 | 1) + t · (1 | -2 | 2) X = (x | y | z) = A + s · AB + t · AC

Wir können ablesen:
A = (0 | 2 | -1)
AB = (6 | -7 | 1)
AC = (1 | -2 | 2)

Punkte B und C bestimmen (optional):

B = AB + A
B = (6 | -7 | 1) + (0 | 2 | -1)
B = (6 | -5 | 0)
C = AC + A
C = (1 | -2 | 2) + (0 | 2 | -1)
C = (1 | 0 | 1)

Als erstes berechnen wir aus den Vektoren AB und AC den Normalenvektor N, damit wir auf die Normalenform gelangen:

Normalenvektor via Kreuzprodukt bestimmen:

N = AB ⨯ AC
N = (6 | -7 | 1) ⨯ (1 | -2 | 2)
N = y_AB·z_AC - z_AB·y_AC | z_AB·x_AC - x_AB·z_AC | x_AB·y_AC - y_AB·x_AC
N = (-7)·2 - 1·(-2) | 1·1 - 6·2 | 6·(-2) - (-7)·1
N = (-12 | -11 | -5)

Normalenform:

(X - A) · N = 0
(X - (0 | 2 | -1)) · (-12 | -11 | -5) = 0
((x | y | z) - (0 | 2 | -1)) · (-12 | -11 | -5) = 0

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