Substitution
Bei der „Substitution“ ersetzen wir einen Term durch einen anderen Term.
Beispiel einer Substitution:
x2 = 25 | z = x2
z = 25
Das Wort „Substitution“ kommt von lateinisch „substituere“ = ersetzen.
Bei diesem simplen Beispiel haben wir den Term x2 mit dem Term z ersetzt (substituiert).
Eine Substiution sollte natürlich sinnvoll erfolgen. Es gibt verschiedene Rechenverfahren, wo Substitutionen sinnvoll eingesetzt werden.
Substitution bei quartischen Gleichungen
Die spezielle quartische Gleichung a·x4 + c·x2 + e = 0 kann einfach gelöst werden, indem wir x2 durch z substituieren. Denn dadurch erhalten wir eine quadratische Gleichung mit der Variablen z:
\( a·x^4 + c·x^2 + e = 0 \\ a·(x^2)^2 + c·(x^2) + e = 0 \quad | x^2 = \textcolor{#00F}{z} \\ a·\textcolor{#00F}{z}^2 + c·\textcolor{#00F}{z} + e = 0 \)
Diese Gleichung kann mit der p-q-Formel oder der abc-Formel gelöst werden.
Es ergeben sich meist zwei Lösungen für z (einmal positiv z+ und einmal negativ z-).
Durch die Rücksubstitution von \( z = x^2 \rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{z} \) gibt es dadurch bis zu vier Lösungen für x. Allgemein festgehalten:
\( x_{1,2} = \pm \sqrt{z_1} \\ x_{3,4} = \pm \sqrt{z_2} \)
Beispielrechnung
Rechnen wir die Lösungen für die Gleichung 2·x4 + 4·x2 - 48 = 0 aus.
\( 2·x^4 + 4·x^2 - 48 = 0 \\ 2·(x^2)^2 + 4·(x^2) - 48 = 0 \quad | \text{ Substitution: } x^2 = \textcolor{#00F}{z} \\ 2·\textcolor{#00F}{z}^2 + 4·\textcolor{#00F}{z} - 48 = 0 \)
Um die p-q-Formel nutzen zu können, müssen wir noch den Vorfaktor 2 per Division beseitigen:
\( 2·z^2 + 4·z - 48 = 0 \qquad |:2 \\ z^2 + 2·z - 24 = 0 \)
Nutzen wir nun die p-q-Formel, um die Gleichung für z zu lösen:
\( z_{1,2} = -( \frac{p}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{p}{2} )^{2} - q} \qquad | p = 2; \space q = -24 \\ z_{1,2} = -( \frac{2}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{2}{2} )^{2} - (-24)} \\ z_{1,2} = -1 \pm \sqrt{25} \\ z_{1,2} = -1 \pm 5 \)
Demnach haben wir zwei Lösungen für z:
\( z_1 = -1 + 5 = 4 \\ z_2 = -1 - 5 = -6 \)
Als nächstes rücksubstituieren wir x2 = z, demnach \( x_{1,2} = \pm \sqrt{z} \):
\( x_{1,2} = \pm \sqrt{z_{1}} \\ x_1 = + \sqrt{z_{1}} = \sqrt{4} = 2 \\ x_2 = - \sqrt{z_{1}} = -\sqrt{4} = -2 \\ x_{3,4} = \pm \sqrt{z_{2}} \\ x_3 = + \sqrt{z_{2}} = \sqrt{-6} = \text{nicht definiert} \\ x_4 = - \sqrt{z_{2}} = -\sqrt{-6} = \text{nicht definiert} \)
Wir haben also zwei Lösungen für x:
x1 = 2 und x2 = -2