Substitution / Substituieren

Lesedauer: 4 min | Vorlesen

Wir sprechen von „Substitution“ (lateinisch „substituere“ = ersetzen), wenn wir einen Term durch einen anderen Term ersetzen.

Beispiel einer Substitution:

\( x^2 = 25 \qquad | \color{#00F}{z} = x^2 \\ \color{#00F}{z} = 25 \)

Bei diesem simplen Beispiel haben wir den Term \( x^2 \) mit dem Term \( z \) substituiert.

Eine Substiution sollte natürlich sinnvoll erfolgen. Es gibt verschiedene Rechenverfahren, wo Substitutionen sinnvoll eingesetzt werden.

Substitution bei quartischen Gleichungen

Die spezielle quartische Gleichung \( a·x^4 + c·x^2 + e = 0 \) kann einfach gelöst werden, indem wir x² durch z substituieren. Denn dadurch erhalten wir eine quadratische Gleichung mit der Variablen z:

\( a·x^4 + c·x^2 + e = 0 \\ a·(x^2)^2 + c·(x^2) + e = 0 \quad | x^2 = \color{#00F}{z} \\ a·\color{#00F}{z}^2 + c·\color{#00F}{z} + e = 0 \)

Diese Gleichung kann mit der p-q-Formel oder der abc-Formel gelöst werden.

Es ergeben sich meist zwei Lösungen für \(z\) (einmal positiv \(z_{+}\) und einmal negativ \(z_{-}\)). Durch die Rücksubstitution von \( z = x^2 \rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{z} \) gibt es dadurch bis zu vier Lösungen für x. Allgemein:

\( x_{1,2} = \pm \sqrt{z_1} \\ x_{3,4} = \pm \sqrt{z_2} \)

Beispielrechnung

Rechnen wir die Lösungen für die Gleichung \( 2·x^4 + 4·x^2 - 48 = 0 \) aus.

\( 2·x^4 + 4·x^2 - 48 = 0 \\ 2·(x^2)^2 + 4·(x^2) - 48 = 0 \quad | \text{ Substitution: } x^2 = \color{#00F}{z} \\ 2·\color{#00F}{z}^2 + 4·\color{#00F}{z} - 48 = 0 \)

Um die p-q-Formel nutzen zu können, müssen wir noch den Vorfaktor „2“ per Division beseitigen:

\( 2·z^2 + 4·z - 48 = 0 \qquad |:2 \\ z^2 + 2·z - 24 = 0 \)

Nutzen wir nun die p-q-Formel, um die Gleichung für z zu lösen:

\( z_{1,2} = -( \frac{p}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{p}{2} )^{2} - q} \qquad | p = 2; \space q = -24 \\ z_{1,2} = -( \frac{2}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{2}{2} )^{2} - (-24)} \\ z_{1,2} = -1 \pm \sqrt{25} \\ z_{1,2} = -1 \pm 5 \)

Demnach haben wir zwei Lösungen für z:

\( z_1 = -1 + 5 = 4 \\ z_2 = -1 - 5 = -6 \)

Als nächstes rücksubstituieren wir \( x^2 = z \), demnach \( x_{1,2} = \pm \sqrt{z} \):

\( x_{1,2} = \pm \sqrt{z_{1}} \\ x_1 = + \sqrt{z_{1}} = \sqrt{4} = 2 \\ x_2 = - \sqrt{z_{1}} = -\sqrt{4} = -2 \\ x_{3,4} = \pm \sqrt{z_{2}} \\ x_3 = + \sqrt{z_{2}} = \sqrt{-6} = \text{nicht definiert} \\ x_4 = - \sqrt{z_{2}} = -\sqrt{-6} = \text{nicht definiert} \)

Wir haben also zwei Lösungen für x: \( x_1 = 2 \) und \( x_2 = -2 \)

  Hinweis senden