Biquadratische Gleichungen
Eine spezielle Gleichungsklasse bilden die sogenannten biquadratischen Gleichungen.
Biquadratische Gleichungen sind Gleichungen vierten Grades, in denen die Variablen nur in geraden Potenzen vorkommen.
Allgemeinform: a·x4 + c·x2 + e = 0
Dies ist, wie man sieht, eine spezielle quartische Gleichung. Es sind b = 0 und d = 0 gewählt.
Mit Hilfe der Substitution (Ersetzung) von x2 durch z, erzeugen wir eine quadratische Gleichung mit der Variablen z:
a·x4 + c·x2 + e = 0
a·(x2)2 + c·x2 + e = 0
a·z2 + c·z + e = 0
Diese Gleichung kann nun wieder mit der abc-Formel oder der p-q-Formel gelöst werden. Wir erhalten meist zwei Lösungen für z (und zwar z+ und z-). Durch die Rücksubstitution wegen x2 = z ergeben sich bis zu vier Lösungen für x:
x1,2 = \( \pm \sqrt{z_{+}} \)
x3,4 = \( \pm \sqrt{z_{-}} \)
Die Gleichung a·z2 + c·z + e = 0 muss für die p-q-Formel natürlich mit den Koeffizienten als a·z2 + b·z + c = 0 betrachtet werden. Zur Anwendung der p-q-Formel muss die gesamte Gleichung (also jeder einzelne Summand) durch a geteilt werden. Es ergibt sich \( p = \frac{c}{a} \) und \( q = \frac{e}{a} \).
Beispiellösung einer biquadratischen Gleichung
Es sei durch x4 - 4·x2 + 3 = 0 eine biquadratische Gleichung gegeben. Die Substitution z = x2 führt zu der Gleichung
z2 - 4·z + 3 = 0
Es ist p = -4 und q = 3. Die Gleichung liegt glücklicherweise schon in Normalform vor. Als Nullstellen für z ergeben sich:
\( z_{1} = -\left(\frac{-4}{2}\right) + \sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2 - 3} = 2 + \sqrt{1} = 3 \)
und
\( z_{2} = \left(-\frac{-4}{2}\right) - \sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2 - 3} = 2 - \sqrt{1} = 1 \)
Die vier Lösungen der biquadratischen Gleichung in x erhalten wir durch Rücksubstitution:
\( x_1 = \sqrt{z_{1}} = \sqrt{3} \approx 1,73 \\ x_2 = - \sqrt{z_{1}} = - \sqrt{3} \approx -1,73 \\ x_3 = \sqrt{z_{2}} = \sqrt{1} = 1 \\ x_4 = - \sqrt{z_{2}} = - \sqrt{1} = -1 \)