Biquadratische Gleichungen

Biquadratische Gleichungen

Eine spezielle Gleichungsklasse bilden die sogenannten biquadratischen Gleichungen. Dies sind Gleichungen vierten Grades, in denen die Variable nur in geraden Potenzen vorkommt:

$$ a·x^4 + c·x^2 + e = 0 $$

Dies ist, wie man sieht, eine spezielle quartische Gleichung. Es sind \(b=0\) und \(d=0\) gewählt. Durch einen einfachen "Trick", und zwar die Substitution (Ersetzung) von \(x^2\) durch \(z\), erhält man eine quadratische Gleichung mit der Variablen \(z\):

$$ a·x^4 + c·x^2 + e = 0 \\ a·(x^2)^2 + c·x^2 + e = 0 \\ a·z^2 + c·z + e = 0 $$

Diese Gleichung kann nun wieder mit der herkömmlichen Mitternachtsformel oder der p-q-Formel gelöst werden. Man erhält meist zwei Lösungen für \(z\) (\(z_{+}\) und \(z_{-}\)) und kann durch Rücksubstitution wegen \(x^2 = z\) bis zu vier Lösungen für \(x\) erhalten:

$$ x_{1,2} = \pm \sqrt{z_{+}} \\ x_{3,4} = \pm \sqrt{z_{-}} $$

Die Gleichung \( a·z^2 + c·z + e = 0 \) muss für die allgemeine Mitternachtsformel natürlich mit den Koeffizienten als \( a·z^2 + b·z + c = 0 \) betrachtet werden. Zur Anwendung der p-q-Formel muss die gesamte Gleichung (also jeder einzelne Summand) durch \( a \) geteilt werden. Es ergibt sich \( p = \frac{c}{a} \) und \( q = \frac{e}{a} \).

Beispiellösung einer biquadratischen Gleichung

Es sei durch
$$ x^4 - 4x^2 + 3 = 0 $$ eine biquadratische Gleichung gegeben. Die Substitution \( z = x^2 \) führt zu der Gleichung

$$ z^2 - 4 z + 3 = 0 $$

Es ist \( p = -4 \) und \( q = 3 \). Die Gleichung liegt glücklicherweise schon in Normalform vor. Als Nullstellen für \( z \) ergeben sich

$$ z_{1} = -\left(\frac{-4}{2}\right) + \sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2 - 3} = 2 + \sqrt{1} = 3 $$

und

$$ z_{2} = \left(-\frac{-4}{2}\right) - \sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2 - 3} = 2 - \sqrt{1} = 1 $$

Die vier Lösungen der biquadratischen Gleichung in \( x \) erhält man durch Rücksubstitution:

$$ x_1 = \sqrt{z_{1}} = \sqrt{3} \approx 1,73 \\ x_2 = - \sqrt{z_{1}} = - \sqrt{3} \approx -1,73 \\ x_3 = \sqrt{z_{2}} = \sqrt{1} = 1 \\ x_4 = - \sqrt{z_{2}} = - \sqrt{1} = -1 $$