Quartische Gleichung mit quadratischem Glied

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Sind bei einer quartischen Gleichung b=0, d=0 und e=0, so erhalten wir folgende Form:

$$ a·x^4 + c·x^2 = 0 $$

Dieser Gleichungstyp vierten Grades lässt sich durch das Ausklammern des Faktors \(x^2\) vereinfachen:

$$ a·x^4 + c·x^2 = 0 \\ (a·x^2 + c)·x^2 = 0 $$

\( x = 0 \) resultiert als doppelte Nullstelle aus \( x^2 = 0 \) und das Problem reduziert sich zu:

$$ a·x^2 + c = 0 $$

Die Begründung für diese Vereinfachung liegt darin, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn wenigstens einer seiner Faktoren Null ist. Dieser einfache Zusammenhang wird gelegentlich als Satz vom Nullprodukt bezeichnet.

Die Lösungen zu dieser Gleichung erhält man auf ähnliche Weise wie für den Gleichungstyp a·x4 + e = 0. Sie ergeben sich zu

$$ x_{1,2} = \sqrt{-\frac{c}{a}} $$

Wieder sieht man, dass für die Existenz weiterer Nullstellen genau einer der beiden Koeffizienten \(a\) oder \(c\) negativ sein muss.

Sei zum Beispiel durch \( -x^4 + 25x^2 = 0 \) eine solche Gleichung gegeben. Dann ist die doppelte Nullstelle \( x_{1} = 0 \). Die anderen beiden Nullstellen ergeben sich aus:

$$ x_{2,3} = \pm \sqrt{-\left(\frac{25}{-1}\right)} = \pm 5 $$

Dies kann man bei Interesse oder einfach zur Übung auch handschriftlich mit den beiden konkreten Koeffizienten \( a= -1\) und \(c = 25 \) nachvollziehen.

Eine andere Möglichkeit, die Nullstellen zu nummerieren, ist die doppelte Nullstelle als zwei übereinanderfallende Nullstellen \( x_{1} = x_{2} = 0 \) aufzufassen. Die anderen beiden (nicht-trivialen) Nullstellen erhalten dann die Bezeichnung \( x_{3} \) und \( x_{4} \).

Es sei aber darauf hingewiesen, dass \( x_{1} = x_{2} = 0 \) eigentlich nur eine einzige Nullstelle ist, die aufgrund ihrer Vielfachheit (ihre Vielfachheit ist zwei) zwei verschiedenen Namen x1 und x2 trägt.

Die Nullstellen einer quartischen Funktion lassen sich aus ihrer grafischen Darstellung ablesen. Als Beispiel sei der Graph der Funktion f(x) = -x4 + 4·x2 mit doppelter Nullstelle bei x = 0 gezeigt:

Polynomfunktion doppelte Nullstelle
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