Reinquartische Gleichungen

Sofern b=0, c=0 und d=0 sind, ergibt sich die Form:

$$ ax^4 + e = 0 $$

Dieser Typ lässt sich ganz allgemein betrachten, die Koeffizienten \(a\) und \(e\) können durch Zahlen ersetzt werden, je nachdem, welche Zahlen in der jeweiligen Aufgabenstellung vorliegen:

$$ \begin{align} a·x^4 + e = 0 &\quad\vert -e \\ a·x^4 = -e &\quad\vert :a \\ x^4 = -\frac{e}{a} &\quad\vert \pm \sqrt[4]{\quad} \\ x = \pm \sqrt[4]{-\frac{e}{a}} \end{align} $$

An der letzten Gleichung erkennt man, dass \( -\frac{e}{a} \) positiv sein muss (die Zahl unter dem Wurzelzeichen, der Radikand, muss positiv sein). Damit muss genau einer der beiden Koeffizienten \(a\) und \(e\) negativ sein, damit eine reelle Lösung existiert.

Sei zum Beispiel durch \(x^4 - 81 = 0 \) eine quartische Gleichung gegeben. Dann ergeben sich die reellen Lösungen durch

$$ x_{1,2} = \pm \sqrt[4]{-\left(\frac{-81}{1}\right)} = \pm 3 $$

Dies kann man nachvollziehen, indem man im oben angegebenen Lösungsweg die Variablen \(a\) und \(e\) durch die Zahlen \(1\) und \(-81\) ersetzt.

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